Ecuaciones en diferencia con Potencia al otro lado de la igualdad
He estado haciendo ejercicios con ecuaciones en diferencias de primer orden y aplicando método de COEFICIENTES INDETERMINADOS. Necesito que me expliquen cómo hallar la particular en los siguientes casos, pues no sé cómo hacerlos cuando tienen potencias:
$$\begin{align}&a) Z_{k+1}-3z_{k}=k4^k \\&solucion: y_{k}=C3^k+(k-4)4^k\\&\\&b)y_{k+1}+2y_{K}=y_{k}+2^k\\&Solucion: C(-1)^k+\frac{1}{3}2^k\\&\\&\end{align}$$No es necesario todo el resultado, solo quiero saber qué valores asignar a Yk y Yk+1 en ambos casos para encontrar la solución particular.
1 respuesta
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Tienes que tomar un polinomio del mismo grado que el de la derecha que hace de factor a 4^k. Y todo ese polinomio multiplicado por 4^k.
Es decir, para hallar la solución particular debes probar con
z_k=(ak+b)·4^k
entonces sustituyendo en la ecuación tendrás
[a(k+1)+b]·4^(k+1) - 3(ak+b)·4^k = k·4^k
[a(k+1)+b]·4 - 3(ak+b) = k
4ak+4a+4b -3ak -3b = k
ak + 4a + b = k
Para k=0
4a+b = 0
Para k=1
a +4a + b = 1
5a + b = 1
Si a esta segunda le restamos la de arriba queda
a=1
luego
4+b=0
b = -4
Con lo cual la solución particular es
(k-4)·4^k
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El segundo es mucho más sencillo, simplemente debes probar con
y_k = a·2^k
Creo que sabrás hacerlo.
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