¿Qué probabilidad hay de aprobar un examen?

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Es un ejercicio que requiere muchas cuentas. Te haré la primera parte y si quieres mandas las otras dos en dos preguntas nuevas.

Supongo que por pasar entiendes aprobar, acertar 5 o más.

Si contamos las probabilidades de 5 a 10 son 6 cuentas, mientras que 0 a 4 son 5 cuentas, luego mejor vamos a calcular la probabilidad de suspender y la de aprobar será la diferencia a 1.

Tenemos una distribución binomial con n=10 y p=1/3

La fórmula de la probabilidad de k aciertos es

$$\begin{align}&P(k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}\\&\\&P(0) = \binom {10}{0}\left(\frac{1}{3}\right)^0·\left(\frac 23\right)^{10}=\frac{2^{10}}{3^{10}}\\&\\&P(1)= \binom {10}{1}\left(\frac{1}{3}\right)^1·\left(\frac 23\right)^{9}=\frac{10·2^{9}}{3^{10}}\\&\\&P(2)= \binom {10}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2·\left(\frac 23\right)^{8}=\frac{45·2^{8}}{3^{10}}\\&\\&P(3)= \binom {10}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3·\left(\frac 23\right)^{7}=\frac{120·2^{7}}{3^{10}}\\&\\&P(4)= \binom {10}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^4·\left(\frac 23\right)^{6}=\frac{210·2^{6}}{3^{10}}\\&\\&\text{Y la suma con todo lo que se pueda sacar}\\&\text{ de factor común es}\\&\\&P(<5)=\frac{2^6}{3^{10}}(2^4+10·2^3+45·2^2+120·2+210)=\\&\\&\frac{2^6}{3^{10}}(16+80+180+240+210)=\\&\\&\frac{2^6}{3^{10}}·726 =0.786879192\\&\\&\\&\end{align}$$

Luego P(>=5) = 1 - P(<5) = 1 - 0.786879192 = 0.21312808