¿Podría ayudarme con la misma integral anterior pero con el siguiente método en variable compleja?

Pero ahora se hace por el método de residuos en Variable Compleja. No sé si usted pueda ayudarme con este tema. La verdad es que ya he resuelto otras integrales, pero hay algo en donde me equivoque y la respuesta no me sale como lo marca WolframAlpha y se supone que esta integral debe salir igual que con el método anterior. La teoría viene en el Chuchill, quizás en otro libro también...

Trataré de poner lo que yo he hecho, quizás le sirva de guía o detecte algun error mío en algún paso.

$$\begin{align}&\int^{+\infty}_{-\infty}{\frac{x}{(x^2+1)(x^2+2x+12)}}dx\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

La integral anterior la podemos escribir como la integral de

$$\begin{align}&\\ &f(z)=\frac{z}{(z^2+1)(z^2+2z+12)}\end{align}$$

a lo largo del eje real del plano complejo.

Los ceros del denominador son z = i, z = -i, z = -1 + i, z = -1 - i, que son todos puntos singulares de la función por ser derivables en los puntos de un entorno centrado en él, excepto en él, pero sólo se toman z = i y z = -1 + i por que existe una región semicircular por encima del eje real que los contiene. Tengo entendido que ese semicurculo es |z| = R, para algún R.

Luego tenemos que integrar con orientación positiva el contorno que se ha formado, o sea, el segmento -R a R que es la base de la semicircunferencia. Por teorema

$$\begin{align}&\int^R_{-R}f(x)dx+\int_{CR}f(z)dz=2\pi i(B_1+B_2)\end{align}$$

donde b_1 y b_2 son los residuos de los complejos que he están dentro del contorno, que son 2 complejos.

Calculando el residuo para el polo z = -1 + i

$$\begin{align}&f(z)=\frac{\frac{z}{(z^2+1)(z-1+i)}}{z+(-1+i)} \\ &luego\\ &B_1=\phi_1(z)=\frac{z}{(z^2+1)(z-1+i)}\\ &entocnes\\ &\phi_1(-1+i)=\phi_1(-1+i)=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i \end{align}$$

Calculando el residuo para el polo z = i

$$\begin{align}&f(z)=\frac{\frac{z}{(z + i)(z^2 + 2z + 2)}}{z-i}\\ &luego\\ &B_2=\phi_2(z)=\frac{z}{(z + i)(z^2 + 2z + 2)}\\ &entocnces\\ &B_2=\phi_2(i)=\frac{1}{10}+-\frac{1}{5}i \end{align}$$

Para la integral de CR, trate de acotar la función f(z), y sacar limite

Si |z| <= R entonces acotando superiormente denominador de f(z)

$$\begin{align}&|(z^2+1)(z^2+2z+2)| = |z^4+2z^3+3z^2+2z+2|\\ &...................... < |z|^4+2|z|^3+3|z|^2+2|z|+2\\ &...................... < R^4+2R^3+3R^2+2R+2\end{align}$$

Por lo que

$$\begin{align}&|\int_{CR}\frac{z}{z^4+2z^3+3z^2+2z+2}|<\frac{R}{R^4+2R^3+3R^2+2R+2}\\ &\lim_{x->\infty}|\int_{CR}\frac{z}{z^4+2z^3+3z^2+2z+2}|<\lim_{x->\infty}\frac{R}{R^4+2R^3+3R^2+2R+2}=0\\ &\end{align}$$

Luego

$$\begin{align}& \lim_{x->\infty}\int_{CR}f(z)dz=0\\ & \end{align}$$

Finalmente

$$\begin{align}&\int^R_{-R}f(x)dx+\int_{CR}f(z)dz=2\pi i(B_1+B_2)\\ &\\ &\int^\infty_{-\infty}f(x)dx+\int_{CR}f(z)dz=2\pi i(B_1+B_2)\\ &\\ &\int^\infty_{-\infty}f(x)dx=2\pi i(B_1+B_2)-\int_{CR}f(z)dz\\ &\\ &\int^\infty_{-\infty}f(x)dx=2\pi i(B_1+B_2)-0\\ &\\ &\int^\infty_{-\infty}f(x)dx=2\pi i(B_1+B_2)\\ &\\ &\int^\infty_{-\infty}f(x)dx=2\pi i((\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i)+(\frac{1}{10}-\frac{1}{5}i)) = \frac{2}{5}\pi i\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Lamentablemente, en Wolfram Alpha aparece otra respuesta, aparte, debe ser dar igual que con el método de la variable real.

Espero su ayuda, y si no tiene tiempo, no habrá problema.