Bartle ejercicios parte 2.5 no. De ejercicio 2
sea S un conjunto no vacio actodado en R
a)sea a>0 sea aS={as:s pertenece a S}. Demostrar que inf(as)=(a)inf S y sup(aS)=(a)sup S
b)sea b<0 sea bS={bs:s pertenece a S}. Demostrar que inf(bs)=(b)inf S y sup(bS)=(b)sup S
1 Respuesta
José Enriques!
a) inf S es una cota inferior de S
inf S <= x para todo x€S
Como a es positivo podemos multiplicar por el y se mantiene la desigualdad con el mismo sentido
a·inf S <= ax para todo x€S
Luego a·inf S es una cota inferior del conjunto aS
Veamos que es la mayor cota inferior. Supongamos existe un valor T que cumple estas dos cosas
T > a·inf S
T es cota inferior de aS
Entonces dividiento por a en la desigualdad primera
T/a > inf S
y por ser T cota inferior de aS
T <= ax para todo x € S
T/a <= x para todo x € S
Luego T/a es una cota inferior para S y es mayor que inf S. Eso es un absurdo, ya que por la definición de ínfimo, inf S era la mayor cota superior de S. Por lo tanto no existen cotas inferiores de aS mayores que a·Inf S, con lo cual a·InfS es el ínfimo de aS
----------------------------
La definición del supremo es análoga
Sup S >= x para todo x € S
a·Sup S >= ax para todo x € S
luego a·Sup S es una cota superior de aS
Supongamos existe una cota superior menor que a·sup S
T < a·sup S
T >= ax para todo x € S
dividiendo entre a en ambas tenemos
T/a < sup S
T/a >= x para todo x € S
Luego T/a es una cota superior de S menor que el supremo de S, eso es contradictorio, luego no existen cotas superiores de aS menores que a·Sup S, y entonces a·Sup S es el supremo de aS.
·
El apartado b es falso, revisa el enunciado.
¡Gracias! wow muchas gracias todo claro y si tenias razón estaba mal el b e mando la corrección aquí mismo.
b)sea b<0 sea bS={bs:s pertenece a S}. Demostrar que inf(bs)=(b)sup S y sup(bS)=(b)inf S
Esto si tiene visos de verosimilitud.
Sea x € S, como
x <= sup S
dado que b es negativo
bx >= b·sup S
ya que al multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad.
Luego b·sup S es una cota inferior de bS
Supongamos que existiera una cota inferior T mayor que b·sup S
T > b·sup S
T <= bx para todo x € S
Dividiendo por b las dos desigualdades, recuerda que por ser negativo invierte las igualdades
T/b < sup S
T/b >= x para todo x € S
Y hemos encontrado un elemento T/b que es una cota superior de S y es menor que el supremo S. Esto es contradictorio con la definición del supremo de S, luego no puede haber una cota inferior de bS mayor que b·sup S, y por lo tanto b·sup S es el ínfimo de bS
--------------------
Es análoga:
Sea x € S, como
inf S <= x para todo x €S
dado que b es negativo
b·inf S >= bx
luego b·inf S es una cota superior de bS
Supongamos que existe una cota superior T menor de b·inf S, entonces se cumplirían estas dos desigualdades
T < b·inf S
T >= bx para todo x € S
dividiendo por b
T/b > inf S
T/b <= x para todo x€S
Luego hemos encontrado un valor T/b mayor que inf S y es cota inferior. Absurdo, luego no puede existir una cota superior menor que b·inf S y por lo tanto b·inf S es el supremo de bS.
·
Y eso es todo.
