Buenas tardes, necesito su ayuda por favor:Derivadas de una función y su representación por medio de la Serie de teylor.
Considera la función cos(x) y desarrolla su representación en Series y Polinomio de Taylor
alrededor del punto x=0.
Saludos.
1 respuesta
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La fórmula de Taylor respecto del punto x=0 también se llama de McLaurin y es esta.
$$\begin{align}&f(x) = f(0)+f'(0) ·x +\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+···+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+···\\ & \\ & \text {o en forma de sumatorio}\\ & \\ & f(x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ & \\ & \text{donde }\\ & f^{(0)}(x) = f(x)\\ & 0!=1\end{align}$$Luego debemos calcular el valor de la función y las derivadas en x=0
f(x) = cosx ==> f(0) = 1
f '(x) = -senx ==> f '(0) = 0
f ''(x) = -cosx ==> f ''(0) = -1
f '''(x) = senx ==> f '''(0) = 0
f ''''(x) = cosx
Y esta derivada cuarta es la funciaón inicial, luego todas las derivadas se vuelven a repetir con este ciclo (1, 0, -1, 0)
Y la fórmula será
$$\begin{align}&cosx = 1 -\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+···\end{align}$$Vamos a escribirla en la forma de sumatorio
La forma de que no aparezcan los términos que valen 0 es para cada n contar de dos en dos,
Así solo saldrán los que valen que son los subíndices 0, 2, 4, 6, 8.
Además tenemos que hacer que los signos sean alternos, para lo que se usa el conocido (-1)^n
$$\begin{align}&cosx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{align}$$Y eso es todo.
