Demostración de calculo vectorial

José Luis Benitez!

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La primera parte de la desigualdad es obvia, x*y es un número real y todo número real es menor o igual que su módulo.

La segunda parte no es obvia ni mucho menos, parece fácil pero lo he intentado varias veces y no me ha salido. Así que no queda más remedio que hechar mano de la teoría para ver que es una desigualdad conocida como desigualdad de Cauchy-Schwarz y la demostración es esta.

Consideramos la función definida como

$$\begin{align}&\rho(\lambda)=(\lambda x+y)*(\lambda x+y) \\ & \\ & \text {es el producto escalar de un vector consigo }\\ & \text{mismo, luego } \rho(\lambda)\ge0\\ &\text{Por propiedades del producto escalar tenemos}\\ & \\ & \rho(\lambda)=(x*x)\lambda^2+2(x*y)\lambda +(y*y)\\ & \\ & \text{A lo sumo puede haber una raíz, lueg}\\ & \text{el discriminate de la ecuación es no positivo}\\ & \\ & 4(x*y)^2-4(x*x)(y*y)\le 0\\ & \\ & (x*y)^2 \le (x*x)(y*y)\\ & \\ & \text{extraemos la raíz cuadrada}\\ & \\ & |x*y| \le \sqrt{x*x}·\sqrt{y*y}\\ & \\ & \text{que por definición } ||x|| = \sqrt{x*x}\;\text{ luego}\\ & \\ & |x*y| \le ||x||·||y||\\ & \end{align}$$

Y eso es todo.