Ecuación con valor absoluto
Cordial saludo Valero para pedirle un favor con esta ecuación valor absoluto. Yo tengo un dato de intervalo que es 9/2, pero me dicen que debo hallar otro y la verdad no se cual es el otro que debo hallar. Muchas gracias
Encuentre la solución para la siguiente ecuación con valor absoluto:
$$\begin{align}&|x-1|+2|x-3|=|x+2|\\ &\end{align}$$
1 Respuesta
Esta ecuación es equivalente a 4 ecuaciones con distintos rangos de valor de la x.
Los valores absolutos cambian de signo en los puntos
x=1
x=3
x=-2
Luego tenemos 4 trozos a estudiar
1)
x € (-oo, -2]
Todos los interiores de los valores absolutos son negativos
x-1 < 0
x-3 < 0
x+2 <=0
luego para tomar el valor positivo se debe cambiar el signo de dentro
1 - x + 2(3-x) = -2-x
1 - x + 6 - 2x = - 2 - x
-2x = -9
x=9/2
como x no pertenece al intervalo cosiderado no hay solución en ese intervalo
2)
x € [-2,1]
Aquí x+2 es positivo, pero los otros dos interiores sonnegativos y debemos cambiarles el signo
1 - x + 2(3-x) = 2 + x
1 - x + 6 - 2x = 2 + x
-4x = -5
x = 5/4
Y 5/4 no pertenece al intervalo [-2, 1] luego no hay solución es este intervalo
3)
x € [1,3]
Aqui todos los interiores son positivos salvo el de |x-3|, habrá que cambiar este de signo
x - 1 + 2(3 - x) = 2 + x
x - 1 + 6 - 2x = 2 + x
-2x = -3
x = 3/2
Por fin, 3/2 € [1, 3] luego x=3/2 es una solución
4)
x € [3, oo)
Todos los interiores son positivos, se quitan los valores absolutos sin tocar nada
x - 1 + 2(x-3) = 2 + x
x - 1 + 2x - 6 = 2 + x
2x = 9
x = 9/2
9/2 € [3,oo) luego es solución.
Luego hay dos respuestas
x=3/2
x=9/2
----------------
Y eso es todo.
