Problemas de Probabilidad
Iniciando en el valor cero, la fortuna de un inversionista crece semanalmente a razón de $ 200 con una probabilidad de 3/8, permanece constante con una probabilidad de 3/8 y decrece a razón de $ 200 con una probabilidad de 2/8. Los incrementos semanales de la fortuna del inversionista son independientes. El inversionista detiene el “juego” en el momento que su fortuna llega a $ 2,000 o su pérdida llega a $1,000, lo que ocurra primero. Utilizando martingalas adecuadas (suitable martingales) y aplicando el teorema de Dobb’s (Optional stopping theorem), determine La probabilidad P2000 de que el inversionista termine el “juego” con una ganancia de $ 2,000 La probabilidad P-1000 de que el inversionista termine el “juego” con una pérdida de $ 1,000 La duración media del “juego E(N)
1 Respuesta
Nelson Carrillo!
De verdad que he intentado entender lo de las martingalas y el toerema de Dobb's. Pero el material existente es de un nivel altísimo y nada instructivo, completamente inaccesible para quien no haya recibido clases de esa teoría. Solo la notación que usan es un reducto para expertos.
Entonces lo que yo encontré tras buscar mucho fue esto.
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/salinero_probabilidad.pdf
En la página 10 habla del problema de la ruina del jugador que sirve para el problema que nos plantean.
Como las ganacias o perdidas son siempre múltiplos de 200 las he dividido entre 200, así se gana o pierde de 1 en 1. Entonces los limites están en perder 5 o ganar 10
Sea p la probabilidad de dar un movimiento positivo y q la de uno negativo, la de quedarse igual no nos interesa de momento, entonces será
p = 3/5
q = 2/5
y de acuerdo con la fórmula de la página
$$\begin{align}&P(ganar)=\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5-1}{\left(\frac{2}{3}\right)^{15}-1}=\\ &\\ &\frac{\frac{2^5-3^5}{3^5}}{\frac{2^{15}-3^{15}}{3^{15}}}=\frac{(2^5-3^5)3^{15}}{(2^{15}-3^{15})3^{5}}=\\ &\\ &\frac{(2^5-3^5)3^{10}}{2^{15}-3^{15}}= \frac{-12459339}{-14316139}=0.8703002255\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y la probabilidad de perder también tiene su fórmula pero es más facíl calcularla restando de 1 la de ganar
P(perder) = 1 -0.8703002255 = 0.1296997745
Y respecto a la media la página dice que calculo sería
E(N) = [b·P(ganar) - a·P(perder)]/(p-q)
Recordemos que a es el dinero con el que juega el juador a y b el que tiene en jugador B. En este caso a es 5 ya que cuando pierde 5 se retira y b es 10 ya que tiene que ganar 10 veces para arruinar al jugador b
E(N) = (10 · 0.8703002255 - 5· 0.1296997745) / (3/5 - 2/5) =
8.054503383 / 0.2 = 40.27251691
Pero en este caso hay semanas donde no se gana ni se pierde, concretamente hay 5 semanas con movimiento por cada 8, tendremos que multiplicar lo obtenido por 8/5 para que se tengan en cuenta las semanas sin movimiento
E(N) = 40.27251691 · 8/5 = 64.43602706
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Todos esos resultados coinciden con bastante aproximación con los dados por un programa de ordenador que hice antes de resolverlo teorícamente, luego están bien.
program Project1;
{$mode objfpc}{$H+}
uses
{$IFDEF UNIX}{$IFDEF UseCThreads}
cthreads,
{$ENDIF}{$ENDIF}
Classes
{ you can add units after this };
var
i,j,totalgana, totalpierde,juegos,x,ran:integer;
semanas:int64;
begin
randomize;
juegos:=100000000;
totalgana:=0;totalpierde:=0;semanas:=0;
for i:=1 to juegos do
begin
x:=0;
repeat
ran := random(8);
if ran <= 2 then
inc(x,1)
else if ran <=4 then
dec(x,1);
inc(semanas,1);
until (x=-5) or (x=10);
if x=-5 then inc(totalpierde,1) else inc(totalgana,1);
end;
writeln('Jugadas : ',juegos);
writeln('Ganadas: ',totalgana,' ', totalgana/juegos:10:8);
writeln('Perdidas: ',totalpierde,' ', totalpierde/juegos:10:8);
writeln('Promedio de semanas ', semanas/juegos:10:8);
readln;
end.Y este fue el resultado
Jugadas : 100000000 Ganadas: 87030710 0.87030710 Perdidas: 12969290 0.12969290 Promedio de semanas 64.42764853
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. SI no es así pregúntame, aunque en este tema sabrás tú mucho más que yo. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
