Ayuda con transformadas de laplace

Tony Balles!

Los ejercicios de ecuaciones diferenciales no son triviales, solo contestaré uno en cada pregunta.

La solución es una función de t

y=f(t)

por simplificar llamaré z a la transformada de la función y=f(t)

z = L{y} = L{f(t)}

y aplicaremos las reglas de recurrencia de las derivadas

L{y'} = s·L{y} - f(0) = sz - y(0)

L{y''} = s²·L{y} - s·f(0) - f '(0) = s²z - s·y(0) - y'(0)

Si hacemos la transformada de ambos lados de la ecuación diferencial tendremos

L{y'' +y' - 2y} = L{0}

por linealidad de la transformada

L{y''} + L{y'} - 2L{y} = 0

s²z - s·y(0) - y'(0) + sz - y(0) - 2z = 0

sustituimos los valores y(0)=0 , y'(0)=1

s²z - 1 + sz - 2z = 0

s²z + sz - 2z = 1

z(s² + s - 2) = 1

z = 1 / (s²+s-2)

Las raíces del denominador son s=1 y s=-2 se puede resolver de varias formas

z = 1 / [(s-1)(s+2)]

debemos descomponerlo en fracciones simples para calcular la inversa

$$\begin{align}&\frac{1}{(s-1)(s+2)}= \frac{a}{s-1}+\frac{b}{s+2}=\\ &\\ &\frac{a(s+2)+b(s-1)}{(s-1)(s+2)}=\frac{(a+b)s+2a-b}{(s-1)(s-2)}\\ &\\ &\text{Luego debe ser}\\ &\\ &1= (a+b)s+2a-b\\ &\\ &\text {lo cual implica dos ecuaciones}\\ &a+b=0 \implies a=-b\\ &2a-b=1 \implies-2b-b=1\implies b=-\frac 13,\;a=\frac 13\\ &\\ &luego \\ &\\ &z=\frac 13·\frac{1}{s-1}-\frac 13·\frac{1}{s+2}\\ &\\ &y=\mathscr L^{-1}\{z\}=\frac 13e^{t}- \frac 13e^{-2t}\\ &\\ &y=\frac 13(e^{t}-e^{-2t})\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no es así pregúntame.  Y si ya está bien, no olvidespuntuar.