Problema de convergencia 4...ayuda por favor!

Zankass Plancarte!

Esa argumentación ya la di en el primer ejercicio. Básicamente las funciones

Fn(x) = x^n tiende a 0 cuando n tiende a infinito en el intervalo [0,1) pero en el 1 siempre valen 1. Y como son continuas tienen que recorrer todos los valores entre 0 y 1. Luego para cualquier epsilon < 1 y cualquier m siempre habrá un punto xo suficientemente cercano a 1 tal que

|xo^m - 1|< 1 - epsilon

- |xo^m -1| > epsilon - 1

xo^m -1 >= -|xo^m - 1| > epsilon -1

xo^m > epsilon

|(xo)^m - 0| >epsilon

Luego siempre hay hay un xo al cual no sirve el m que hubiéramos usado para demostrar la convergencia absoluta. Si tomamos otro m mayor encontraremos otro xo que no la cumple. Por lo tanto no hay convergencia uniforme.

Y la segunda función también converge puntualmente, pero dado un epsilon y cualquier m sioempre encontraremos un punto xo suficientemente a la derecha tal que su distancia a la función 0 será mayor que epsilon

|ln(xo) / ln(m+1)| =

como m+1> 1

 = |ln(xo)| / ln(m+1) > epsilon

invertimos los números

ln(m+1) / |ln(xo)| < epsilon

ln(m+1) < epsilon · |ln(xo)|

|ln(xo)| > ln(m+1) / epsilon

El punto xo lo vamos a tomar bien a la derecha, luego su logaritmo neperiano es positivo y podemos quitar el valor absoluto

ln(xo) > ln(m+1) / epsilon

ln(xo) > ln[(m+1)^(1/epsilon)]

xo > (m+1)^(1/epsilon)

Y para los xo que cumplen esto se cumple

|gn(xo) - 0| = |ln(xo) / ln(m+1)| > epsilon

Luego no hay convergencia uniforme.

Y eso es todo.