Problema de continuidad...ayuda por favor!
Sean (U,d_U ),(R,d_R) espacios métricos (d_R la métrica usual), A⊂U y un punto fijo u_0∈U. Demuestra que la función distancia: f:A⟶R, dada por f(a)=d_U (a,u_0), es continua en A.
1 Respuesta
Zankasss Plancarte!
Para demostrar que f es continua tenemos que comprobar que la imagen inversa de un abierto de R es un abierto en A.
Y cuando se quiere demostrar que un conjunto es un abierto hay que ver que todos sus puntos son interiores, es decir cada punto esta contenido en una bola contenida en el conjunto.
Las bolas de U serán las inducidas por su distancia
B(v,r) = { w € U | d_U(v,w) < r}
Entoces sea un abierto S de R
f^-1(S) = {v € A | d_U(a,v) € S}
dado un elemento w € S tendremos d_U(a,w) = d € S
como S es un abierto, existe una bola de d de radio r incluida en S
Usaré inc como símbolo de inclusión
B(d,r) inc S
luego
Tomemos la bola de A
B(w,r) n A (n es interección)
Si v € [B(w,r) n A] ==> d_U(w,v) < r
d_U(a,v) <= d_U(a,w) + d(w,v) < d+r
por otro lado tambien se cumple
d_U(a,v) >= d_U(a,w) - d(w,v) > d-r
luego
d-r < d_U(a,v) < d+r
luego
f(v) € (d-r, d+r)
y por lo tanto
f(v) € B(d,r) inc S
luego v € f^-1(S)
luego [B(w,r) n A] € f^-1(S)
Y hemos encontrado una bola incluida a a que contiene a w, luego los elementos de
f^_1(S) son interiores y f^-1(S) es un abierto, y por lo tanto la función f es continua.
La verdad es que es un poco lioso y más sin poder usar todos los símbolos de la teoria de conjuntos, pero así es la topología. Espero que te sirva y lo hayas entendido, si no pregúntame.
