Entrego mi coche en una casa de compra venta

Buenas tardes:
Mi gran duda es la siguiente:Tengo pensamiento de vender mi coche, y donde lo he visto económicamente más interesante ha sido una casa de compra-venta de vehículos de segunda mano.
El problema es que he quedado con ellos mañana para entregar mi vehículo, y ellos me dicen que firmamos un contrato privado entre ellos y yo, y que me dan el dinero.
Ahora, que pasa con la transferencia, ¿deben firmarla el mismo día antes de darles el coche?. Es que ellos ni me lo han mencionado, sólo me dicen que pondrán el coche a nombre de su empresa, pero ... ¿cuándo?.
Mientras no esté hecha la transferencia el responsable del vehículo, sigo siendo yo verdad, es que soy muy desconfiada y pienso que si esta gente coge mi coche hasta que ellos se lo vendan a otro, y cometen una infracción, o algo más grave, soy yo el máximo responsable verdad.
Te agradecería me respondieras en la mayor brevedad posible, pues mañana es cuando pensaba hacerlo.
Un saludo y muchas gracias.