Limite central, estadística

Se trata de una distribución binomial con n=220 y p=0.25

Hay varios criterios para determinar si una binomial se puede aproximar por una distribución normal. A mi me enseñaron n>30 y p ni muy grande ni muy pequeña. Pero ahora he visto otro criterio más concreto que dice

np>5 y n(1-p)>5

en este caso

np = 220·0.25 = 55

n(1-p) = 220·0.75 = 165

Cumple sobradamente los criterios.

Entonces la teoría dice que la media y desviación de la aproximación normal son

media = np = 55

desviación = sqrt[np(1-p)] = sqrt[55·0.75] = sqrt(41.25) = 6.4226

Y la normal será una X ~ N(55, 6.4226)

Ahora nos piden la probabilidad de más del 30% de estudiantes, eso son

30% de 220 = 0.3 · 220 = 66

Luego deben ser más de 66 los admitidos con la binomial

B(>66) = 1 - B(<=66) =

Esto es el intervalo [0, 66] El 0 se hace el -oo de la normal. Y el 66, al estar incluido, se convierte en 66.5 en la normal. Eso es todo parte de la teoría.

= 1 - P(X<=66.5) =

Y ahora tipificamos restando la media y dividiendo entre la desviación para calcular el valor correspondiente en una Z ~ N(0,1)

= 1 - P[(66.5 - 55) / 6.4226] = 1 - P(1.790552) =

Tabla(1.79) = 0.9633

Tabla(1.80) = 0.9641

El valor algo más exacto se obtiene interpolando

Tabla(1.790552) = 0.9633 + 0.0552(0.9641 - 0.9633) = 0.96334416

= 1 - 0.96334416 = 0.03665584

Y esa es la probabilidad. En tanto por ciento será un 3.67%