Rectas como intersección de planos

Dos planos determinan una recta siempre que no sean coincidentes o paralelos.

Lo normal sería que tres planos determinaras tres rectas ya que se pueden tomar tres parejas de planos.

Ahora bien, puede haber planos paralelos como decía antes o que los tres coincidan en la misma recta, En ambos casos serán dependientes los vectores directores, si hay paralelos porque un vector será igual o proporcional a otro y si los tres planos coinciden en una recta los tres vectores directores están en el mismo plano que es el perpendicular a esa recta.

Tomemos los vectores directores

| 3  5  -4|    
| 1  2  -1| = 30 + 15 + 16 - 24 - 25 - 12 = 0
|-3 -4   5|    

Los tres vectores son dependientes pero no hay proporcionales entre si, luego los tres planos coinciden en una recta y solo determinan una recta.

Si esto no es suficiente se puede resolver analíticamente, los vectores de la recta se calculan mediante producto vectorial

Vector recta pi1 y pi2

|i  j  k|
|3  5 -4| = 3i - j + k
|1  2 -1|

Vector recta pi1 y pi3

| i  j  k|
| 3  5 -4| = 9i - 3j + 3k 
|-3 -4  5|

Vector recta pi2 y pi3

| i  j  k|
| 1  2 -1| = 6i - 2j + 2k
|-3 -4  5| 

Los tres son proporcionales a 3i - j + k

Luego las tres rectas son paralelas o coincidentes

Tomemos un punto cualquiera de la recta pi1 y pi2, por ejemplo que tenga z=0

pi 1: 3x + 5y - 4z -1 =0
pi 2: x + 2y -z -2 =0

3x +5y = 1

x + 2y = 2

la segunda por tres se resta a la primera

-y =-5

y=5

x +10 = 2

x=-8

El punto (-8,5,0) € recta(pi1, pi2)

Y este punto también pertenece a pi3: -3x - 4y + 5z - 4 = 0

-3(-8) - 4·5 + 5·0 - 4 = 24 - 20 - 4 = 0

Luego (-8,5,0) pertenece a las tres rectas y por ser paralelas son coincidentes.

Luego solo determinan una recta. Los tres planos pertenecen al haz de planos generados por la recta

r: (-8, 5, 0) + t(3, -1, 1)

Y eso es todo.