Covarianza de dos variables aleatorias. 94

5.94

a) Cov(U1,U2) = E(U1·U2) - E(U1)·E(U2)=

E[(Y1+Y2)(Y1-Y2)] - E(Y1+Y2)·E(Y1-Y2) =

E[(Y1)^2 - (Y2)^2] - [E(Y1)+E(Y2)] [E(Y1)-E(Y2)] =

E[(Y1)^2]- E[(Y2)^2] - [E(Y1)]^2 + [E(Y2)]^2 =

V(Y1) - V(Y2)

5.95

El coeficiente de correlación es la covarianza dividida entre el producto de las desviaciones estándar

$$\begin{align}&\rho = \frac{Cov(Y_1,Y_2)}{\sigma_1·\sigma_2}\\ &\\ &\text{Sustituyendo la covarianza hallada antes:}\\ &\\ &\rho=\frac{\sigma_1^2-\sigma_2^2}{\sigma_1·\sigma_2}\\ &\\ &\text{o si se prefiere}\\ &\\ &\rho = \frac{\sigma_1}{\sigma_2} -\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\end{align}$$

c) Si, claro que es posible, cuando Y1 e Y2 tengan la misma varianza.

Y eso es todo.