Ejercicio probabilidades estadística

Nos introducen un elemento de tiempo que es perfectamente prescindible y que en un principio puede llevarnos a pensar en distribuciones de Poisson. No es así, igual nos da que produzcan 1000 por hora que por segundo o que estén almacenadas y no nos digan en cuanto tiempo se fabricaron.

Lo único que nos importa es la proporción de botellas con contenido deficiente que son 100 entre 1000. Es decir la probabilidad de que el contenido sea deficiente es 0,1.

La distribución del problema es una binomial con p=0,1 y n=20

La probabilidad de que en una B(n,p) se den exactamente x ocurrencias es

P(x) = C(n,x)·(p^x)(1-p)^(n-x)

donde C(n,x) son combinaciones de n elementos tomadas de x en x

Y la probabilidad de que haya 4 o mas botellas deficientes es la probabilidad total (que es 1) menos la probabilidad de que solo haya 0,1,2 o 3 botellas deficientes. Esto último es algo más o menos sencillo de calcular. Yo lo haré a mano (bueno con calculadora). Aunque tu deberás hacerlo con el método que te deje usar el profesor, yo no sé si te dejara usar tablas u ordenador para hacerlo.

P(0) = C(20,0)·(0,1^0)(0,9^20) = 0,9^20 = 0,1215766546

P(1) = C(20,1)·(0,1^1)(0,9^19) = 20·0,1·(0,9^19) = 0,2701703435

P(2) = C(20,2)·(0,1^2)(0,9^18) = (20·19/2)(0,1^2)(0,9^18) = 0,2851798071

P(3) = C(20,3)(0,1^3)(0,9^17) = (20·19·18/6)(0,1^3)(0,9^17) = 0,1901198714

Y la suma P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 0,8670466766

Y finalmente hay que restar esto a 1 para obtener la probabilidad pedida:

P(>=4) = 1 - 0,8670466766 = 0,1329533234

Como uno de los métodos alternativo para calcular P(1)+P(2)+P(3)+P(4) se podría haber usado Excel con la función:

DISTR.BINOM.N(3;20;0.1;VERDADERO) = 0.86704668

Y eso es todo.