Calculo de una integral definida
valeroasm como estas. Esta vez me piden calcular una integral definida que es:
$$\int _{0}^{\pi }\left( xsenx\right) ^{2}dx$$es todo lo que necesito echame la mano con estos ejercicios que te he enviado, muchas gracias.
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Los senos al cuadrado son malos para integrar se suelen cambiar mediante la fórmula:
$$\begin{align}&sen^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}\\ &\\ &\text{Y la integral quedará:}\\ &\\ &\int \frac{x^2}{2}dx-\frac 12\int x²\cos 2x\; dx=\\ &\\ &\text {Integraremos por partes}\\ &u=x^2\implies du=2xdx\\ &dv=\cos 2x dx\implies v=\frac{sen\,2x}2{}\\ &\\ &=\frac{x^3}{6}-\frac{x^2sen\,2x}{4}+\frac 12\int xsen\,2x\,dx =\\ &u=x\implies du=dx\\ &dv=sen\,2x\,dx\implies v=-\frac{\cos 2x}{2}\\ &\\ &=\frac{x^3}{6}-\frac{x^2sen\,2x}{4}-\frac {xcos 2x}{4}+\frac 14\int \cos 2x\, dx=\\ &\\ &\frac{x^3}{6}-\frac{(2x^2-1)sen\,2x+2xcos 2x}{8}\\ &\\ &\text{Lo evaluamos entre 0 y }\pi\\ &\\ &\frac{\pi^3}{6}-\frac{\pi}{4}-0-0 =\frac{\pi^3}{6}-\frac{\pi}{4}\approx 4.382314617\end{align}$$Y eso es todo.
