Ejercicio rectas varias variables numero 7

No es necesario calcular las rectas, basta con obtener vectores directores de ellas.

Sabemos que el producto escalar

u*v = ||u||·||v||·cosa

cosa = |(u*v)| / (||u||·||v||)

donde * es el producto vectorial y a es el ángulo menor que forman u y v.

Tengamos en cuenta que el eje z tiene como vector (0,0,1)

La curva es r(t) =(e^t·cost, e^t·sent, e^t)

El vector director de la recta tangente no es otro que el vector tangente

r'(t) = (e^t·cost-e^t·sent , e^t·sent + e^t·cost , e^t)

r'(t) * (0,0,1) = e^t

||r'(t)|| = e^t·sqrt[(cost-sent)^2 + (sent+cost)^2+1] =

e^t·sqrt[cos^2(t)+sen^2(t) -2sent·cost + sen^2(t)+cos^2(t)+2sent·cost+1]=

e^t·sqrt(3)

Luego

cosa = e^t / [e^t·sqrt(3)] = 1/sqrt(3) = sqrt(3) / 3

y el coseno de la tangente con z es constante y el ángulo también lo es.

El vector binormal tiene la dirección de r'(t) x r''(t)

calculamos r''(t)

r''(t) = (e^t(cost-sent)+e^t(-sent-cost) , e^t(sent+cost)+e^t(cost-sent) , e^t) =

2e^t(-sent, cost, 1)

Para hacer más fácil el producto vectorial tomamos el representante

(-Sent, cost, 1)

Y como representante de r'(t) tomamos

(Cost-sent, sent+cost, 1)

Y el producto vectorial es

(cost-sent-cost , cost-sent+sent , -sent(sent+cost)-cost(cost-sent)) =

(-sent , cost , -sen^2(t)-sent·cost-cos^2(t)+cost·sent)=

(-sent , cos t, -1)

ese vector es representante de la dirección del binormal

Y el producto escalar de este con el eje z es

(-sent, cost , -1) * (0,0,1) = -1

y la norma es

sqrt[sen^2(t)+cos^2(t)+1] = sqrt(2)

Por lo tanto el coseno del angulo que forman es

cosa = |-1| / sqrt(2) = 1/sqrt(2) = sqrt(2) / 2

a = 45º

Luego el binormal y z tienen ángulo constante de 45º

Y el vector normal se obtiene como producto vectorial del binormal por el tangente. Como solo nos importa la dirección no es necesario que los normalicemos

| i j k |

|cost-sent sent+cost 1 | =

|-sent cost -1 |

(-sent-cost - cost)i + (-sent + cost-sent)j + [cost(cost-sent)+sent(sent+cost)]k =

-(sent+2cost)i + (cost-2sent)j + [cos^2(t)-sent·cost + sen^2(t)+sent·cost]k=

-(sent+2cost)i + (cost-2sent)j + k =

(-sent-2cost , cost-2sent , 1)

ese vector representa la dirección del vector normal

Y ahora calculamos su producto escalar con el vector del eje z

(-sent-2cost , cost-2sent , 1) * (0,0,1) = 1

Y ahora la norma de este vector representante que es

sqrt[(-sent-2cost)^2 + (cost-2sent)^2 +1] =

sqrt(sen^2t + 4cos^2(t)+4sent·cost + cos^2t+4sen^2(t) -4sent·cost + 1]=

sqrt(1+4+1) = sqrt(6)

Luego el coseno del ángulo es

cosa = 1/sqrt(6) = sqrt(6)/6

Que es constante, luego el ángulo también lo sera entre la recta normal y el eje Z

Y eso es todo.