Distribuciones de probabilidad multivariante.

5.6)

a)

Y1 deberá tener una valor entre 0.5 y 1

Y2 un valor entre 0 y Y1-0.5

Porque así conseguiremos

y1-y2 >y1 -(y1-0.5) = 0.5

$$\begin{align}&P(Y_1-Y_2<0.5)= \int_{0.5}^1\int_0^{y_1-0.5}dy_2\;dy_1=\\ &\\ &\int_{0.5}^1(y_1-0.5) dy_1 = \\ &\\ &\left[ \frac{y_1^2}{2}-0.5y_1  \right]_{0.5}^1=0.5-0.5 -\frac{0.5^2}{2}+0.5^2= 0.125\end{align}$$

b) Y1 podrá tomar cualquier valor mientras e Y2 tendrá que valer entre 0 y 0.5/Y1, pero cuidado que 0.5/Y1 puede ser mayor que 1, asi que hay que afinar más. Serán dos intervalos de integración

Si 0 <= y1 <= 0.5 entonces 0 <= y2 <= 1

si 0.5 <= y1 <= 1 entonces 0 <= y2 <= 0.5/y1

$$\begin{align}&P(Y_1·Y_2<=0.5)= \int_0^{^1/_2}\int_0^1dy_2\,dy_1+\int_{^1/_2}^1 \int_0^{\frac{1}{2y_1}}dy_2\,dy_1=\\ &\\ &1·\frac 12+\int_{^1/_2}^1 \frac {dy_1}{2y_1}=\frac 12+\frac 12 \left[ln\,y_1 \right]_{0.5}^1= \\ &\\ &\frac 12(1-ln \; 0.5) \approx \frac 12(1.6931471806) \approx0.8465735903\end{align}$$

Y eso es todo.