Calculo 3 derivadas parciales B

2. Derivamos y comprobamos

fx(×,y) = (1/5)×^(-4/5)y^(1/3)

Pues no lo tengo nada claro, vamos al definición

fx(0,0) = lim h-->0 de [(h)^(1/5)·0^(1/3) - h^(1/5)3·0^(1/3)]/h

lim h->0 de 0/h = 0

Y esto es así porque 0/h = 0 para todo h distinto de 0.

Ya sabemos que la definición de límite sería

lim h-->0 de 0/h es 0 <==>

Para todo epsilon>0 existe un delta>0 tal que para todo h con 0<|h|<delta ==>  |0/h-0| < epsilon

por lo que el valor h=0 queda excluido del cómputo y en todos los demás puntos si se cumple 0/h=0 luego |0/h-0|=0 < epsilon para cualquier delta que tomemos

La demostración para fy es prácticamente la misma

3) f(×,y) = ×^2·y·sen(1/×) si × <> 0

0 si ×=0

determinar si hay derivadas parciales en (0,2) usando la definición

fx(×,y) = lim h->0 de f(×+h, y) - f(×,y)]/h

Tener en cuenta que nada más que × valga 0 la función vale 0 y nos evitamos la indeterminación sen(1/×)

fx(0,2) = lim h->0 de [h^2·2sen(1/h) - 0]/h =

lim h->0 de 2·h·sen(1/h)

No nos importa cuanto valga (1/h puesto que el seno de eso estará acotado por 1 y -1 con lo cual el límite sera 0 que es a lo que tiende el factor h del producto.

Luego fx(0,2) = 0

fy(×,y) = lim h->0 de [f(×, y+h) - f(×,y)] / h

fy(0,2) = lim h->0 de [0-0]/h = lim h->0 de 0/h

Y en el problema 2 ya demostrábamos que eso era 0, luego

fy(0,2)=0

Y eso es todo.