Ejercicio 3c pagina 153

$$\begin{align}&Hallar\\ &\\ &\frac{\partial h}{\partial x}\\ &\\ &donde\\ &\\ &h(x,y,z) =f(u(x,y,z),v(x,y), w(x))\\ &\\ &\\ &\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}+ \frac{\partial f}{\partial w}\frac{\partial w}{\partial x}\end{align}$$

Las funciones (u, v, w) son las tres componentes de una función

g: R3 ---> R3

Aunque dicen que v es función de (x, y) y w es función de x eso no quita que se puedan considerar como funciones de (x, y, z)

Entonces tenemos

f: R3 ---> R

g: R3 ---> R3

con lo que f o g que es f(g)

R3 --g--> R3 --f--> R

fog: R3 ----> R

Y aplicamos el toerema 11

D(fog)(xo) = Df(yo)Dg(xo)

donde yo=g(xo)

$$\begin{pmatrix}
\frac{\partial h}{\partial x}&\frac{\partial h}{\partial y}&\frac{\partial h}{\partial z}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial u}&\frac{\partial f}{\partial v}&\frac{\partial f}{\partial w}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}&\frac{\partial u}{\partial z}\\
\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}&\frac{\partial v}{\partial z}\\
\frac{\partial w}{\partial x}&\frac{\partial w}{\partial y}&\frac{\partial w}{\partial z}\\
\end{pmatrix}$$

Y la derivada parcial de h respecto a x es la suma de productos de la fila de la primera matriz por la primera columna de la segunda que es lo que había escrito arriba.

Y eso es todo.

valeroasm cierto que no se puede calcular g o f ?