Espacios y subespacios, por favor.

Demuestra que las funciones e elevada a la x y
long (x) son I. I. Y que generan un subespacio del espacio de funciones.

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Soto 30!

Creo que el enunciado no está bien.

La segunda función podría ser log(x), ln(x) o incluso logn(x) si me apuras, pero long(x) no es ninguna función reconocida.

Voy a resolver como si esa función fuese un logaritmo cualquiera, y así va a servir lo mismo para cualquiera de estas 4 posibilidades:

log en base 10

log anglosajón que es el neperiano

Ln que es el neperiano

Logn que sería logaritmo en base n (¿o logaritmo natural?)

Si fueran dependientes, una de las dos funciones se podría escribir como combinación lineal de la otra, es decir, existiría una constante k € R tal que

log(x) = k·e^x

pero si le damos valor 1 a x tendremos

log(1) = 0

0 = k·e^1 = k·e

luego k=0 con lo cual sería

log(x) = 0

Absurdo, porque log(x) es distinto de 0 para todos los valores de x distintos de 1.

Luego no existe esa constante k y no son dependientes y por lo tanto son independientes.

Y cualquier conjunto de vectores de un espacio vectorial genera un subespacio vectorial. Luego estas dos funciones generan un subespacio vectorial del espacio de las funciones. En concreto un espacio vectorial de dimensión 2.

Y eso es todo.

Efectivamente tiene usted toda la razón no el long, sino logn, lo he escrito incorrectamente, nuevamente infinitas gracias por su ayuda, ya no se de que manera darle las gracias, GRACIAS.

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