Demostraciones de funciones continuas
Supón que se tiene una colección de subconjuntos de un espacio métrico, Aj (con j en un conjunto de índices J).
1.- Demuestra que si Aj es conexo para toda j que pertenece a J y la intersección j que pertenece a J Aj es conexo.
1 Respuesta
Esta mal el enunciado debe de ser asi:
1.- Demuestra que si Aj es conexo para toda j que pertenece a J y la intersección j que pertenece a J Aj diferente de conjunto vacío, entonces U j que pertenece a J, Aj es conexo.
Espero me entienda el enunciado, espero su apoyo, gracias.
saludos.
Supongamos que no es conexo. Existirán dos abiertos B y C con intersección vacía que contienen la unión de los subconjuntos Aj y ambos tienen intersección no vacía con esa unión.
Supongamos que uno de los subconjuntos Aj tiene parte en B y parte en C, entonces no sería
conexo, ya que estaría contenido en la unión de dos abiertos con intersección vacía entre si y con intersección no vacía del subconjunto Aj con B y con C. Como todos los Aj son conexos no puede suceder esto, luego unos Aj estarán en B y otros en C.
Dado A1, estará íntegramente en uno de los dos abiertos, por ejemplo B (y si no intercambiamos el nombre de los abiertos B y C). A1 contiene la intersección de todos los Aj, (al igual que cualquier Aj contiene esa intersección) luego B contiene esa intersección y por lo tanto contiene parte de todos los Aj, como el abierto que contenga parte de un Aj debo contenerlo todo llegamos a la conclusión de que B contiene a todos los Aj y por lo tanto C no contiene a ninguno.
Luego no se dan las condiciones de no conexo ya que C debería tener algo la unión de esos
subconjuntos y no tiene nada. Y si no es no conexa, entonces la unión es conexa.
Y eso es todo.
