Derivación compleja funciones holomorfaso

¿existe una función holomorfa cuya parte sea

$$\begin{align}&u(x,y)=-2x+3x^2+4y+2xy-3y^2\\ &\end{align}$$
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5.857.225 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

No estoy seguro de la pregunta, supongo que quieres decir cuya parte real sea la que pone y que puede existir una parte imaginaria también. Confírmamelo antes porque no me voy a meter en caminos sin saber, que esta pregunta no la veo tan sencilla.

En efecto. Se refiere que u(x,y) es la parte real que ponen y que puede existir una v(x,y) que es la parte imaginaria.

Ya me temía que sería eso.

Bueno, lo único que podemos usar que yo sepa es que se deben cumplir las condiciones de Riemann

Ux = -2 + 6x + 2y

Uy = 4 + 2x - 6y

y la función V tiene que ser tal que

Vy = Ux = -2 + 6x + 2y

integrando respecto y tenemos

V = -2y + 6xy + y^2 + f(x)

La f(x) es la constante de integración, es cualquier función donde no aparezca la variable y.

Asimismo debe cumplir

Vx = -Uy = -4 - 2x + 6y

integrando respecto x tenemos

V= -.4x - x^2 + 6xy + g(y)

Veamos si son compatibles las dos expresiones de V obtenidas

-2y + 6xy + y^2 + f(x) = -.4x - x^2 + 6xy + g(y)

-2y + y^2 + f(x) = -.4x - x^2 + g(y)

perfecto han volado los términos que dependían de las dos variables

si hacemos

f(x) = -4x - x^2

g(y) = -2y + y^2

tenemos la igualdad

Luego la respuesta es que si es posible, haciendo

V(x,y) = -2y + 6xy + y^2 + f(x)

V(x,y) = -2y + 6xy + y^2 - 4x -x^2

Tendremos una función con derivadas parciales continuas y cumpliendo las condiciones de C-R, luego será holomorfa.

Y eso es todo.

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