Como resuelvo esta serie matemática
Es
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{(k+1)!}$$me sugirieron utilizar la representación de la exponencial
$$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x$$hasta el momento, saqué la derivada y obtuve ésto
$$\begin{align}&\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k(x^{k-1})}{k!} = e^x\\ &\\ &1+\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(x^{k-1})}{k!} = e^x\\ &\\ &\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k(x^{k-1})}{k!} = e^x-1\end{align}$$de aquí ya no se que hacer
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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No sé quién te habrá sugerido eso, pero no sale nada.
Prueba a ver como es la suma
Para un sumando = 1/2
Para dos sumandos = 1/2 +2/6 = 5/6
Para tres sumandos = 5/6 + 3/24 = 23/24
Para cuatro sumandos = 23/24 + 4/120 = (115+4)/120 = 119/120
Luego parece que la suma de n términos es
[(n+1)! -1] / (n+1)!
Lo demostramos por inducción.
Para n=1 es 1/2 = (2!-1) / 2!
Si se cumple para n el sumando para n+1 es
$$\begin{align}&\frac{(n+1)! -1}{(n+1)!} + \frac{n+1}{(n+2)!} =\\ &\\ &\\ &\frac{(n+2)[(n+1)! -1]+n+1}{(n+2)!}=\\ &\\ &\\ &\frac{(n+2)!-n-2+n+1}{(n+2)!}=\frac{(n+2)!-1}{(n+2)!}\end{align}$$Luego se cumple. Con lo cual el sumatorio es:
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)! -1}{(n+1)!}= 1$$Y eso es todo.
