Integral definida de -2 a -1

$$\int_{-2}^{-1} (x-1)dx/\sqrt {x^2-4x+3}$$
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Si derivamos la raíz cuadrada esa nos da:

$$\begin{align}&\frac{2x-4}{2 \sqrt{x^2-4x+3}} = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x-3}}\\ & \\ & \\ & \text {Podemos hacer esto:}\\ & \\ & \int_{-2}^{-1}\frac{(x-1)dx}{\sqrt{...}}=\int_{-2}^{-1}\frac{(x-2)dx}{\sqrt{...}}+\int_{-2}^{-1}\frac{dx}{\sqrt{...}}=\\ & \\ & \\ & \\ & \left . \sqrt{x^2-4x+3} \; \right |_{-2}^{-1}+ \int_{-2}^{-1} \frac {dx}{\sqrt{x^2-4x+3}}\\ & \\ & \end{align}$$

Dejemos para el final el cálculo de lo ya integrado y veamos la integral que queda. Hoy mismo te decía que la derivada del argsenh(x), ahora te diré la del argcosh(x)

No encontrarás en dos sitios la misma abreviatura para esta funciones, yo he visto todas estas: argsh, argsinh, argsenh, asinh, arcsinh para el seno, para el coseno hay tantas menos una.

$$1 \over \sqrt{x^2-1}$$

Pues lo que tenemos que hacer es dejar nuestro radicando como un cuadrado de algo menos 1. Bueno, y si eso no es posible, que lo que sobre sea un factor constante que pueda salir del radicando.

La función al cuadrado debe comerse las x luego debe ser

(x-2)^2 = x^2-4x+4

Y enseguida lo tenemos

(x-2)^2-1 = x^2-4x-3

Luego la integral de eso es tan sencilla como

argcosh(x-2)

En resumen:

$$\begin{align}&\int_{-2}^{-1} \frac{(x-1)dx}{\sqrt{x^2-4x+3}}=\\ & \\ & \\ & \left [ \sqrt{x^2-4x+3} + argcosh(x-2) \right ]_{-2}^{-1}=\\ & \\ & \\ & \sqrt 2 + argcosh(-3) -\sqrt{15}- argcosh(-4) \approx \end{align}$$

Bueno, la calculadora no me deja calcularlo. Eso puede deberse a que el argcosh es un logaritmo

$$argcosh(x)= ln(x+\sqrt{x^2-1})$$

y no hay logaritmos de números negativos. Entonces las integrales de los argcosh tienen que ir en valor absoluto, igual que las de los logaritmos

$$\begin{align}&\left [ \sqrt{x^2-4x+3} + argcosh(|x-2|) \right ]_{-2}^{-1}=\\ & \\ & \\ & \sqrt 8 + argcosh(3) -\sqrt{15}- argcosh(4) \approx -1,345246116\end{align}$$

Pues esta integral me ha traído por el camino de la amargura estos días porque el programa Máxima y Derive decían otras cosas. Y por más que revisaba, estaba bien la integral que había hecho, la derivaba y me daba la función original. Por fin me he dado cuenta que no hay que tomar valores absolutos en el argcosh sino los negativos pero tomando el resultado que nos da en número complejo. Y los dos argcosh tienen la misma parte imaginaria y se anulan. Son cosas de las funciones complejas que no domino bien.

Entonces la integral definitiva es:

$$\begin{align}&\left [ \sqrt{x^2-4x+3} + argcosh(x-2) \right ]_{-2}^{-1}=\\ & \\ & \\ & \sqrt 8 + argcosh(-3) - \sqrt{15}- argcosh(-4) = \\ &\\ &\\ &\sqrt 8 - \sqrt{15}+1.762747174+3.141592653i -2.063437069- 3.141592653i \approx \\ &\\ &-0.743866328\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y está comprobado que la respuesta es esta y no la anterior por ejemplo, porque he realizado la integral numéricamente y da esto. También si se hace la gráfica se ve que el área puede muy bien ser esa.

Y eso es todo.

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