Problema con varias incógnitas
Hola, aquí tengo el siguiente problema:
Una roca se deja caer desde un acantilado hacia una corriente de agua. El sonido de la roca al golpear el agua se escucha 6 segundos después de que se suelta la roca. ¿Cuál es la altura del acantilado con respecto al agua? Suponga que la velocidad del sonido es de 1060 pies por segundo, y use la fórmula h=16t² para determinar la distancia h que la roca cae en t segundos.
Mi primera pregunta, ¿Por qué o para qué me dan la velocidad del sonido?
La respuesta del libro dice que es h=490.5 pies
Pero, ¿No se supone que es t segundos, osea que mientras más tiempo pase, más distancia recorrerá la roca? (suponiendo claro que no hay fuerza de gravedad)
Gracias de antemano.
1 Respuesta
Qué desagradables son los problemas con los pies.
Sabemos que la constante de la gravedad con m/s^2 es g=9.8 con lo cual la altura es
h = (1/2)gt^2 = 4.9t^2 m
Vamos a ver cuanto mide un dichoso pie
1pie = 0.30480 m
1m = 3.2808
h = 4.9 (3.2808)t^2 = 16.07592 t^2 pies
Vale, damos por cierta la fórmula
h = 16t^2 pies
Estos ingleses y americanos siempre en contra del sistema intrernacional de medidas.
Vamos a empezar ya el problema.
El tiempo que tarda en llegar el sonido se compone de dos términos:
El primero es el tiempo que tarda la roca en llegar al agua.
El segundo es el tiempo que tarda en subir el sonido hasta arriba
6 = tiempo en caer la roca+ tiempo en subir sonido
Sea h la altura, vamos a calcular el tiempo en caer
h = 16t^2
t^2 = h/16
t = sqrt(h/16) = sqrt(h) / 4
donde sqrt significa raíz cuadrada
Y ahora calculamos el tiempo en subir el sonido, llamemoslo r
h = 1060r
r = h/1060
Los dos tioempos suman 6 segundos, luego
sqrt(h)/4 + h/1060 = 6
dejamos a un lado la raiz par facilitar las cuentas
sqrt(h)/4 = 6 - h/1060
elevamos al cuadrado en ambos sitios
h/16 = 36 + h^2 / (1060)^2 - 12h/1060
h^2/(1060)^2 - h(12/1060 +1/16) + 36 = 0
Vamos a operar el coeficiente de la h
(12·16 +1060)(1060·16) = 1252/16960 = 313/4240
h^2/(1060)^2 - (313/4240)h + 36 = 0
Multiplicamos todo por 1060^2
h^2 - (313·1060^2/4240)h + 36(1060)^2 = 0
h^2 - 82945h + 40449600 = 0
Y resolvemos la ecuación dse segundo grado
h = {82945 +- sqrt[(82945)^2 - 4·40449600]} / 2 =
[82945 +-sqrt(6718074625)] / 2 =
[82945 +-81963.8617] / 2 =
490.5691493 y 82454.43085 pies
Una de las respuestas coincide con la que nos dan, incluso la hemos obtenido con mas precisión. La otra surge por haber resulelto la ecuación elvando al cuadrado los dos miembros de la igualdad. Entonces pueden aparecer soluciones nuevas que no sirven y esa no sirve, la profundidad es tan grande que solo el caer la piedra tarda más de 6 segundos.
Luego la profundidad del acantilado redondeando es
490.57 pies
Y eso es todo.
