Ejercicio longitud de caminos en R^n

Determine la longitud del camino

f: [alfa, beta] ---->R^n

f(t) =(a1·t+b1, a2·t+b2, ..., an·t+bn)

demuestre que se puede escribir como ||f(alfa)-f(beta)||. Interprete geométricamente.

La definición de longitud es

$$\begin{align}&l(f)=\int_{\alpha}^{\beta}||f'(t)||dt\\ &\\ &Tenemos\\ &\\ &f(t)=(a_1t+b_1,a_2t+b_2,...,a_nt+b_n)\\ &\\ &f'(t)=(a_1,a_2,...,a_n)\\ &\\ &l(f)=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{a_1^2+a_2^2+···+a_n^2}\;dt=\\ &\\ &\sqrt{a_1^2+a_2^2+···+a_n^2}\int_{\alpha}^{\beta}dt=\\ &\\ &\sqrt{a_1^2+a_2^2+···+a_n^2}\;· \left[t\right]_{\alpha}^{\beta}=\\ &\\ &\sqrt{a_1^2+a_2^2+···+a_n^2}\;(\beta-\alpha)\end{align}$$

Eso por un lado. Y por el otro vamos a calcular ||f(alfa)-f(beta)||

$$\begin{align}&||f(\alpha)-f(\beta)||=\\ &\\ &||(a_1\alpha+b_1-a_1\beta-b_1,...,a_n\alpha+b_n-a_n\beta-b_n)||=\\ &\\ &||(a_1(\alpha-\beta),...,a_n(\alpha-\beta))||=\\ &\\ &|\alpha-\beta|·||(a_1,a_2,...,a_n)||=\\ &\\ &\text como\; \beta\ge\alpha\\ &\\ &(\beta-\alpha)\sqrt{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}\end{align}$$

Luego son lo mismo.

La interpretación geométrica es que el camino f es una recta, por eso la distancia entre dos puntos del camino es la norma del vector que los une.

Y eso es todo.