Teorema de Cantor

Las condiciones que debe cumplir una métrica son

1) d(x,y) >= 0

2) d(x,y) = 0 <==> x=y

3) d(x,y) = d(y,x)

d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z)

1) Puesto que p es una métrica será positiva y el mínimo de 1 y una cantidad positiva es una cantidad positiva.

2) Por ser p una métrica se cumple p(x,y)=0 <==> x=y

Entonces si x=y ==> d(x,y) = min(1,0) = 0

y si d(x,y)=0 ==>min{1, p(x,y)} = 0 ==> p(x,y) = 0 ==> x=y

3) Por ser p una métrica

Si p(x,y) <1 ==> d(x,y) = p(x,y) = p(y,x) < 1 ==> d(y,x) = p(y,x) = d(x,y)

Si p(x,y)>=1 p(y,x) = p(x,y) >=1 ==>

d(x,y) = min{1, p(x,y)} = 1 y d(y,x) = min{1, p(y,x)} = 1

4)

Voy a dejar de recordar a todas horas que p es una métrica pero se aplicará donde haga falta

d(x,z) = min{1, p(x,z)}

d(x,y) + d(y,z) = min{1, p(x,y)} + min{1, p(y,z)}

i) Si las tres distancias p(x,z),p(x,y) y p(y,z) son menores que 1

p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z)

y por lo tanto

d(x,z) = p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z) = d(x,y)+d(y,z)

ii) Si p(x,z) < 1 y alguna de p(x,y) o p(y,z) >=1. Supongamos que sea p(x,y) >= 1 y si no lo es se hace de forma análoga siendo p(y,z) >=1

d(x,z) = min{1,p(x,z)} = p(x,z) < 1 <= 1 +min{1, p(y,z)} = d(x,y) + d(y,z)

iii) Si p(x,z) >= 1 y las otras dos son menores que 1

Recordemos que se siempre se cumple p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z)

d(x,z) = 1 <= p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z) = d(x,y)+d(y,z)

iv) Si p(x,z) >=1 y alguna de las otras es >= 1 supongamos p(x,y)>=1 y si so se hace de forma análoga

d(x,z) = 1 <= 1 + min{1,p(y,z)} = d(x,y) + d(y,z)

Y eso es todo.