¿Hola cómo expresar max y min de f(x)=x-sen(2x) de forma general? Gracias
Hola como es una función periódica no se como expresar los máximos y mínimos y puntos de inflexión de forma general? Gracias
1 Respuesta
No es periódica, pero lo que importa para los máximos, mínimos y puntos de inflexión no es la función sino sus derivadas, y vamos a ver que estas si lo son.
f '(x) = 1 - 2cos(2x)
f ''(x) = 4sen(2x)
Para que se anule la derivada primera debe ser
1-2cos(2x) = 0
2cos(2x) = 1
cos(2x) = 1/2
2x = 60º y - 60º = pi/3 y -pi/3
veamos el signo de la derivada segunda en cada caso:
Para 2x = pi/3
4sen(2x) = 4 sen(pi/3) = 4sqrt(3)/2 es positiva luego es un mínimo
Para 2x = -pi/3
4sen(2x) = 4sen(-pi/3) = 4(-sqrt(3)/2) es negativa luego es un máximo.
Ahora hay que tener cuidado a la hora de calcular el ángulo mitad, no se puede calcular el ángulo mitad de un ángulo negativo, sale mal.
Para 2x = pi/3 ==> x = pi/6
Para 2x = -pi/3 hay que hacer 2x = 2pi-pi/3 = 5pi/3 ==> x = 5pi/6
Y entonces la solución es esta:
Son mínimos los puntos x = pi/6 + 2k·pi con k€Z
Son máximos los puntos x = 5pi/6 + 2k·pi con k€ Z
No hay puntos de inflexión.
Y eso es todo.
Hola:
Muchas gracias por la explicación. Y en caso de que sí como se calcularía el punto de inflexión? Ah también otra pregunta y para encontrar los puntos en que la función corta el eje x?
Muchísimas gracias.
Saludos
Los puntos de inflexión son puntos donde la derivada primera es nula y la segunda también y la primera vez que deja de ser nula la derivada es una derivada de orden impar.
Por ejemplo
f '(xo)=0, f ''(xo)=0, f '''(xo) = 1
f '(xo)=0, f ''(xo)=0, f '''(xo) = 0, f ''''(xo) = 0, f '''''(xo) = 0.32
En este ejercicio que hemos hecho los puntos en donde la derivada primera era 0, no lo era la derivada segunda, por eso no había puntos de inflexión.
Los puntos de corte con el eje X no se pueden calcular de manera algebraica, es imposible resolver una ecuación mezcla de polinomio con función trigonométrica, lo mismo que lo sería una mezcla de polinomio con una función logarítmica.
Se resuelven por métodos de aproximación numérica que no creo hayáis dado y tienen cierta complicación.
x - sen(2x) = 0
x = sen(2x)
Dado que sen(2x) esta acotado en el intervalo [-1, 1], x tiene que pertenecer al intervalo [-1,1]
La respuesta x=0 es una obvia
Para ver si existen otras hagamos la gráfica.
En efecto, hay otras dos simétricas respecto a 0. Pero como te decía, no se pueden calcular de manera exacta algebraicamente, y eso no lo puedo hacer ni Newton.
Hay métodos de aproximación, pero serían objeto de otra pregunta si quieres hacerla, la contestaré siempre que no puntúes esta con menos de 5 por decirte las dificultades que hay. El 5 se da siempre no cuesta nada.
