Determinar valor de "por" con 2 decimales (4)

El problema se resuelve calculando las raíces del numerador para los ceros de la función y las raíces del denominador para las asíntotas verticales

Vamos con el numerador

6x^4+13x^3-11x^2+x = (6x^3+13x^2-11x+1)x = 0

La primera raíz es x=0

Ahora nos dedicamos e este polinomio

f(x) = 6x^3+13x^2-11x+1 = 0

Hay dos cambios de signo, luego tiene 2 ó 0 raíces positivas

El polinomio para -x es

f(-x) = -6x^3 + 13x^2 +11x + 1

Hay un cambio de signo, luego hay una raíz negativa

Hay dos métodos para acotar las raíces.

Método de Leguerre. Si al dividir p(x) entre x-C son no negativos los coeficientes del cociente y resto entonces C es una cota superior de las raíces.

Y si al dividir p(-x) entre x-C son no negativos los coeficientes del cociente y resto entonces -C es cota inferior de las raíces

Método de Newton. Si f(C), f '(C), f ''(C), f '''(C), fn(C) son no negativos entonces C es una cota superior de las raíces

Lo haremos por el método de Newton

f(x) = 6x^3+13x^2-11x+1

f '(x) = 18x^2 + 26x -11

f ''(x) = 36x - 11

f '''(x) = 36

Calculamos para x=1

f '''(1)=36; f ''(1)=25; f '(1) = 33; f(1)=10

Luego 1 es una cota superior de las raíces

Aplicamos el método a

f(-x) = -6x^3+13x^2+11x+1

Las raíces de esto son las mismas que las de

g(x) = 6x^3-13x^2-11x-1

g'(x) = 18x^2 - 26x - 11

g''(x) = 36x -26

g'''(x) = 36

Tomamos x=1

g'''(1) = 36; g''(1) = 10; g'(1)= -19 no sirve, (-1 no es cota inferior)

tomamos x=2

g'(2) = 72-52-11=9; g(2) = 48-42-11-1 = -6 no sirve (-2 no es cota inferior)

tomamos x=3

g(3) = 6·27 -13·9 -33-1 = 11

Luego 3 es cota superior para las raíces de f(-x) y por tanto -3 es cota inferior para las raíces.

Bueno esto es muy largo, resumamos

Hay una raíz negativa y es mayor que -3

Hay 0 o 2 raíces positivas y son menores que 1

Es un polinomio positivo de grado 3, empieza en -oo, tiene una raíz negativa entre -3 y -2, en x=0 vale 1.

La derivada en x=0 es

f'(0)=-11, luego en x=0 decrece

Luego ha cambiado de crecer a decrecer, vamos a ver si cruza el 0, para ello buscamos el mínimo

f'(x) = 18x^2 + 26x -11 = 0

$$\begin{align}&x= \frac{-26\pm\sqrt{26^2+4·18·11}}{36}=\\ &\\ &\frac{-26\pm \sqrt{1468}}{36}\approx -1.777\; y\; 0.342\end{align}$$

-1.777 es el máximo que tomo cuando paró de crecer.

Veamos el valor de la función en 0.342

f(0.342) =-1.0014

Luego cae debajo de y=0, eso es una raíz y como luego vale infinito en el infinito tiene que pasar otra vez por y=0, otra raíz.

Luego resumiendo, hay una raíz entre [-3 y -2], dos raíces entre [0 y 1]

Y ahora usaremos el método de Newton para aproximar la raíces. Se forma una sucesión que si se dan bien las condiciones converge a la raíz

La sucesión es

$$\begin{align}&x_{n+1}= x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}\\ &\\ &x_{n+1}= x_n-\frac{6x_n^3+13x_n^2-11x_n+1}{18x_n^2+26x_n-11}\\ &\\ &\text{Para la negativa empezamos con } x_0=-3\\ &\\ &x_1=-3-\frac{6(-27)+13·9-33+1}{18·9+26(-3)-11}=-2.84\\ &\\ &x_2=-2.84-\frac{6(-2.84)^3+13(-2.84)^2-11(-2.84)+1}{18(-2.84)^2+26(-2.84)-11}=-2.82\\ &\\ &x_3= -2.82-\frac{6(-2.82)^3+13(-2.82)^2-11(-2.82)+1}{18(-2.82)^2+26(-2.82)-11}=-2.82\\ &\end{align}$$

Luego -2.82 es la raíz negativa con 2 decimales de exactitud

Ahora haríamos lo mismo para la primera raíz positiva, le daremos valor inicial 0

$$\begin{align}&x_1= 0-\frac{6·0^3+13·0^2-11·0+1}{18·0^2+26·0-11}= 0.09\\ &\\ &x_2 = 0.09-\frac{6·0.09^3+13·0.09^2-11·0.09+1}{18·0.09^2+26·0.09-11}= 0.1\\ &\\ &x_3 = 0.1-\frac{6·0.1^3+13·0.1^2-11·0.1+1}{18·0.1^2+26·0.1-11}=0.1\\ &\\ &\end{align}$$

Luego 0.1 es la primera raíz positiva.

Y para calcular la segunda positiva empezaríamos con x0=1 por ejemplo.

Y ya ves todo el cálculo que lleva esto, que ni siquiera hemos hecho la mitad del ejercicio.

Luego mi opinión es que no os han puesto este ejercicio para resolverlo así. Sería muy interesante si me dijeras como lo resuelve el profesor cuando lo resuelva.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si quieres las respuestas exactas hazlo con Wolframalpha tal como lo hice en uno anterior.