Distribuciones de probabilidad multivariantes.

5.7)

La probabilidad es la integral doble de la función de densidad en los puntos donde no es nula y limitada al recinto que nos piden

a)

$$\begin{align}&P(Y_1 \lt 1,Y_2 \gt 5)= \int_0^1\int_5^{+\infty}e^{-(y_1+y_2)}dy_2dy_1=\\ &\\ &\int_0^1 \left[ -e^{-(y_1+y_2)} \right]_5^{+\infty}dy_1 =\\ &\\ &\int_0^1 e^{-(y_1+5)}dy_1 =\\ &\\ &\left[ -e^{-(y_1+5)} \right]_0^1=-e^{-6}+e^{-5} \approx0.004259194822\end{align}$$

b) Dejaremos que y1 varíe entre 0 y 3, entonces y2 variará entre 0 y 3-y_1

$$\begin{align}&P(Y_1+Y_2 \lt 3)= \int_0^3\int_0^{3-y_1}e^{-(y_1+y_2)}dy_2dy_1=\\ &\\ &\int_0^3 \left[ -e^{-(y_1+y_2)} \right]_0^{3-y_1}dy_1 =\\ &\\ &\int_0^3(-e^{-3}+e^{-y_1}) dy_1=\\ &\\ &\left[  -ye^{-3}-e^{-y_1}\right ]_0^3=\\ &\\ &-3e^{-3}-e^{-3}+0+e^0 = 1-4e^{-3} \approx 0.8008517265\end{align}$$

Y eso es todo.