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Las ecuaciones con valores absolutos se deben considerar como dos ecuaciones, una cuando su contenido es positivo y otra cuando es negativo. Si después de efectuados los cálculos se pueden integra se integran.
El interior del valor absoluto será positivo cuando
a-x >= 0
a>= x
x <= a
Y sera negativo cuando
x>= a
Vamos con el primero. Como es positivo coincide con el valor absoluto y se pueden quitar las barras sin hacer nada más
y = sqrt(a-x)·(a-x + 1 -a +x) = sqrt(a-x)
y^2 = a-x
x = a-y^2
Ahora se vuelven a poner las x donde ponía y
f^-1(x) = a - x^2 si x<=a
Y ahora vamos con el segundo caso.
x>a
a-x < 0
Para poder quitar las barras hay que cambiar el signo
y = sqrt(a-x)(-a+x+1-a+x)
y = sqrt(a-x)(2x+1-2a)
¡AH, olvidemos el segundo caso!
No hay función porque no existe la raíz cuadrada de números negativos.
En resumen, la función f(x) esta definida en (-infinito, a], su imagen es [0,+infinito) y su valor es:
f(x) = sqrt(a-x)
y su inversa es:
f^-1(x) = a-x^2
definida en [0,+infinito) y con imagen en (-infinito, a]
Y eso es todo.
