Problema de calculo diferencial
hola valeroasm necesito que me ayudes a resolver el siguiente ejercicio, pues no he podido hasta ahora dice asi:
los lados de un tríangulo y el angulo incluido varían con el tiempo.el angulo crece 1 rad/segundo, un lado crece 3 pues/segundo y el otro decrece 2 pies/segundo. Hallar la variación del área cuando estas tres magnitudes son pi/4 rad, 4 y 5 pie respectivamente.
¿crece o decrece?
de antemano muchas gracias por colaborarme haber si lo logro entender. Hasta pronto.
1 Respuesta
sabes valeroasm que el problema se enuncia de esa manera, esos son todos los datos, el libro da la solución pero he intentado resolverlo y no coincide, podrías intentar tu ????
pd: la respuesta es (27 raíz de 2 )/4 si te sirve de algo
Vale, creo que no hacen falta más datos. Nosotros elegiremos cuál es el instante cero.
Primero veamos cual es el área del triángulo conociendo el ángulo y los dos lados contiguos.
Pongamos el ángulo en el punto (0,0) y el lado que hace de base sobe el eje OX+. La altura del triangulo será el otro lado por el seno del ángulo.
Luego si los lados son a, b, y el angulo es w
Área = (1/2)a·b·senw
Expresemos ahora el área en función del tiempo. Llamando 0 al instante que nos dicen
Área(t) = (1/2)(4+3t)(5-2t)sen(Pi/4 + t) =
(1/2)(20-8t+15t-6t^2)sen(t+Pi/4) =
(1/2)(7t-6t^2+20)sen(t+Pi/4) =
(7t/2 - 3t^2 + 10)sen(t+Pi/4)
La variación instantánea del área es la derivada.
Área'(t)=(7/2-6t)sen(t+Pi/4)+(7t/2-3t^2+10)cos(t+Pi/4)
Área'(0)=(7/2)sen(Pi/4)+10cos(Pi/4) = (7/2)sqrt(2)/2 + 10sqrt(2)/2 = (27/2)sqrt(2)/2 = (27/4)sqrt(2)
Que es exactamente lo que decían.
La función Área es creciente en un punto si la derivada es positiva en es punto. Y decrece si la derivada es negativa.
En nuestro caso la derivada en es momento es (27/4)sqrt(2) >0
Luego el área crece en ese momento.
Y eso es todo.
pues valeroasm yo entiendo el procedimiento pero explicame porque analizas el área en el instante cero y porque hay que expresar el área en función del tiempo??? no entiendo
El área se expresa en función del tiempo porque nos piden la variación del área con el tiempo, para ello hay que saber cuál es el área en cualquier instante.
La variación del área respecto al tiempo es el incremento de área que ha habido entre el tiempo transcurrido para ese aumento. Cuando ese incremento de tiempo es infinitamente pequeño se obtiene la variación con mayor precisión y coincide con la derivada de la función, que tiene que estar expresada en función de t porque respecto a t tiene que derivasrse.
El instante 0 no es otro que el que me piden en el problema. Lo he llamado cero porque eso suele hacerse y como el problema no dice cual es el comienzo yo digo que es ese. Pero me da igual si quieres que lo llame 1, 3/4 o Pepito. Yo tengo que examinar el instante del cual me dan los datos, y calcular la variación en él, me es indiferente como lo llame o si no tiene nombre.
Lo que te tiene que quedar claro del problema es que la variación es la derivada del área con respecto al tiempo, y para poder calcularla tienes que tener el área expresada en función del tiempo.
Y eso es todo si no se te odrece más.
