Distribuciones de probabilidad multivariantes.

5.9)

a)

Hacemos la integral que debe valer 1.

Como Y2>Y1 entonces Y1 podrá valer 1/2 a lo sumo

$$\begin{align}&1=\int_0^{1/2}\int_{y_1}^{1-y_1}k(1-y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &k\int_0^{1/2}\left[y_2-\frac{y_2^2}{2}\right]_{y_1}^{1-y_1}dy_2=\\ &\\ &\\ &k\int_0^{1/2} \left(1-y_1-\frac 12-\frac{y_1^2}{2}+y_1-y_1+\frac{y_1^2}{2}\right)dy_2 =\\ &\\ &\\ &k\int_0^{1/2}\left( \frac 12 -y_1 \right)dy_2=\\ &\\ &\\ &k \left[ \frac{y_1}{2} -\frac{y_1^2}{2}\right]_0^{1/2} = k\left(\frac 14-\frac 18 \right)=\frac k8\\ &\\ &\end{align}$$

Luego

1= k/8

k=8

El libro etá equivocado cuando dice k= 6

b) Puesto que Y1 <=1/2 < 3/4 el límite para Y1 es 1/2

$$\begin{align}&P(Y1 \le 3/4;\; Y2 \ge 1/2)= \\ &\\ &\int_0^{1/2}\int_{1/2}^{1-y_1}8(1-y_2)dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &8 \int_0^{1/2}\left[ y_2-\frac{y_2^2}{2} \right ]_{1/2}^{1-y_1}dy_1=\\ &\\ &\\ &8\int_0^{1/2}\left( 1-y_1-\frac 12-\frac{y_1^2}{2}+y_1-\frac 12+\frac 18 \right)dy_1=\\ &\\ &8\int_0^{1/2}\left(\frac 18-\frac{y_1^2}{2} \right)dy_1=\\ &\\ &8\left[ \frac{y_1}{8}-\frac{y_1^3}{6} \right]_0^{1/2}=8\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{48} \right )=\frac{16}{48}= \frac 13\end{align}$$

Y la respuesta del libro está mal en este apartado también.