Hola alguien por favor que este familiarizado con vectores

Los vectores
(1,1,1) y (3,4,5) son I.i. Y generan un espacio de dimensión dos, muestra que
se puede agregar un vector de tal forma
que el conjunto de vectores sea I. I y con esto formen una base del espacio
real.

y

Para
que valores de t los vectores (1 + t, 1 – t),
(1 - t, 1 +t) son una base para
R2

de antemano muchas gracias.

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Respuesta
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Primero formamos un sistema equivalente de vectores con más ceros mediante las operaciones de fila de siempre. Al segundo le restaremos tres veces el primero.
1 1 1
0 1 2

Y ahora habría que añadir un vector linealmente independiente. Si el determinante de la
matriz es distinto de cero será independiente. Y cuando una matriz tiene todo ceros debajo
de la diagonal principal el determinante es el producto de la diagonal, luego vamos a añadir
este vector
1 1 1
0 1 2
0 0 1
Con lo cual el determinante es 1·1·1 =1 y son independientes

Luego el vector (0,0,1) sirve. Pero hay infinitos que valen y más métodos para calcularlos, por ejemplo el de calcular un vector ortogonal a ambos mediante el producto vectorial, pero es más complicado y no sé si lo habrás dado ya.

El segundo ejercicio mándalo en otra pregunta tras puntuar esta y las pendientes que tienes, tengo la norma de contestar un solo ejercicio en cada pregunta.

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