Distancia mayor y menor
hola valeroasm! Nuevamente sobre multiplicadores de lagrange me piden calcular lo siguiente. No se que hay que hacer, oriéntame por favor:
muchas gracias.
1 respuesta
Ahora pienso que ese que dejé a medias está mal, no lo intentes terminar.
Siendo 9x^2+4y^2+z^2 = 36 tendremos
z = +- sqrt(36-9x^2-4y^2)
Lo cual hace que tengamos dos superficies simétricas respecto del plano z=0, haremos los cálculos solo en la positiva pero los resultados también servirán para la negativa
luego los puntos de la parte superior del elipsoide tienen la forma
(x, y, sqrt(36-9x^2-4y^2)) para 36-9x^2-4y^2 >=0
Y la distancia al origen es
f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2 + 36 -9x^2 - 4y^2)
f(x,y) = sqrt(36 - 8x^2 - 3y^2)
Y esta es la función de la que debemos calcular máximos y mínimos absolutos
Para los relativos calculamos las derivadas parciales y las igualamos a 0
fx(x,y) = -8x/sqrt(36 - 8x^2 - 3y^2) = 0
fy(x,y) = -3y/sqrt(36-8x^2-3y^2) = 0
1) Si sqrt(36-8x^2-3y^2) distinto de cero tendremos
-8x=0
-3y=0
y el punto (0,0) es crítico
Sería algo complicadillo calcular las derivadas segundas para determinar si es máximo relativo o mínimo relativo. Pero no es necesario, basta examinar la función:
f(x,y) = sqrt(36-8x^2-3y^2)
en (0,0) vale 6
Y en cualquier otro punto del dominio vale menos ya que a 36 le restamos algo positivo
Luego (0,0) es máximo relativo y los puntos del elipsoide a mayor distancia del origen son los que se obtienen de (x, y, +- sqrt(36-9x^2-4y^2)) luego son
(0,0,6) y (0,0,-6)
2) Si sqrt(36-8x^2-3y^2) = 0 no hay derivadas parciales
36-8x^2-3y^2=0
8x^2+3y^2 = 36
y la ecuación del elipsoide era
9x^2+4y^2+z^2 = 36
restándole la de arriba
x^2+y^2+z^2 = 0
x=y=z=0
que no es un punto de elipsoide
Pero este estudio que hemos hecho no sirve para la frontera del del conjunto, la frontera es un conjunto de puntos críticos que deben estudiarse aparte.
La frontera son los puntos donde 9x^2 + 4y^2 = 36 y por lo tanto z=0
son los puntos (x, +-sqr(36-9x^2)/2, 0) con 36-9x^2 >=0
la distancia al origen es
sqrt(x^2+y^2) = sqrt[x^2+(36-9x^2)/4]= sqrt (4x^2+36-9x^2) / 2 = sqrt(36-5x^2)
derivando e igualando a 0 tenemos
-5x/sqrt(36-5x^2) = 0
Si 36-5x^2 distinto de 0
x=0
De nuevo se ve sin derivar dos veces que esto es un máximo relativo para la frontera
Cuando x=0 y z=0 tenemos en la ecuación del elipsoide
4y^2=36
y = 3
Y la distancia al origen es 3 que es menor que la calculada antes en los puntos (0,0,6) y (0,0,-6) luego no es máximo absoluto
Y si 36-5x^2=0 tendremos
5x^2=36
restado de la ecuación de los puntos de la frontera
4x^2+4y^2 = 0
x=y=0 que no es punto de la frontera
Y finalmente solo quedan por estudiar los extremos de la frontera
36-9x^2=0
x = +- 2, y=0, z=0
La distancia al origen es 2
Puesto que no ha aparecido ningún mínimo relativo esta es la distancia absoluta menor que hay.
Luego en resumen:
La distancia mayor es 6 y se da en los puntos (0,0,6) y (0,0,-6)
La distancia menor es 2 y se da en los puntos (2,0,0) y (-2,0,0)
He hecho todo el problema con teoría de máximos y mínimos a través de derivadas parciales y derivadas, pero se podría haber hecho con geometría calculando los valores de los tres semiejes del elipsoide que son 2,3 y 6. El menor sería 2 y el máximo 6. Es por si puede valer con eso.
pues valeroasm a mi me piden resolverlo por multiplicadores de lagrange conoces el método, me han dicho que es mas corta y rápida la solución, podrías indicarme como se hace?
Veamos a ver si es más fácil, pero lo dudo, hay que despejar unas ecuaciones que ya veremos.
La función que vamos a estudiar es el cuadrado de la distancia para no tener que escribir ni derivar raíces cuadradas
f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2
y la ecuación de ligadura es
g(x,y,z) = 9x^2+4y^2+z^2-36 = 0
Formamos la función
F(x,y,z,t) = f(x,y,z) + t·g(x,y,z)
donde t es el multiplicador de Lagrange
Y las derivadas parciales de F respecto x,y,z deben ser 0
F(x,y,z,t) =x^2+y^2+z^2 + t(9x^2+4y^2+z^2-36)
Fx(x,y,z,t) = 2x +18tx =0
Fy(x,y,z,t) = 2y + 8ty=0
Fz(x,y,z,t)= 2z + 2tz=0
Estas son las ecuaciones a considerar para hallar los puntos críticos
x(2+18t)=0
y(2+8t)=0
z(2+2t)=0
9x^2+4y^2+z^2-36 = 0
Si tomamos x=y=z=0 no se cumple la cuarta.
Podemos hacer que uno de estos tres factores (2+18t), (2+8t) o (2+2t) sea 0 y entonces la variable x, y o z correspondiente puede tomar el valor que quiera y las otras 2 deben valer 0.
Empezamos haciendo 2+18t=0 y hacemos x=+-2 para que se cumpla la 4ª ecuación
los puntos críticos son (2,0,0) y (-2,0,0)
Luego hacemos (2+8t)=0 y hacemos y=+-3 para que se cumpla la 4ª ecuación
Los puntos críticos son (3,0,0) y (-3,0,0)
Y finalmente hacemos (2+2t)=0 y hacemos z=+-6 para que se cumpla la 4ª ecuación
Los puntos críticos son (6,0,0) y (-6,0,0)
Y ya solo es cuestión de calcular la distancia de estos puntos al origen.
Es máxima en los puntos (6,0,0) y (-6,0,0)
Es mínima en los puntos (2,0,0) y (-2,0,0)
Y eso es todo.
