Ecuación Diferencial Separación Variables

Hola Valeroasm nuevamente con la molestia Gracias.

Resuelva cada una de las ecuaciones diferenciales siguientes por separación de variables.  Siga los pasos siguientes:

Ponga la ecuación en la forma:

$$\frac {dy}{dx}=g(x)h(y)$$

 para comprobar que puede resolverse por separación de variables.

Separe variables y resuelva la Ecuación Diferencial

$$dy -(y+1)^2dx=0$$
 
$$e^xy\frac{dy}{dx}=e^{-y}-e^{-2x-y}$$
 

Resolver el problema de valor inicial

$$x^2 \frac{dy}{dx}=y-xy $$

 con y (-1)=1

de antemano muchísimas Gracias !!

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1 Respuesta

5.856.350 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Vamos a hacer lo que nos dicen

dy - (y+1)^2 dx = 0
dy = (y+1)^2 dx
dy/dx = (y+1)^2
Luego es de variables separables y las separamos
dy/(y+1)^2 = dx
e integramos
-1/(y+1) = x + C
y+1 = -1/(x+C)
y = -1 -1/(x+C)
No cuesta nada comprobar que está bien reauelta
(e^x)y·dy/dx = e^(-y) - e^(-2x-y)
dy/dx = [e^(-y) - e^(-2x-y)] / (y·e^x) =
e^(-y)[1-e^(-2x)] / (y·e^x) =
[e^(-y)/y] · [1-e^(-2x)]/e^x
Y efectivamente, es producto de dos funciones,
una exclusiva de x y otra de y.
dy/[e^(-y)/y] = dx/{[1-e^(-2x)]/e^x}
ydy/e^(-y) = e^x·dx/[1-e^(-2x)]
ye^y·dy = e^x·dx/[1-1/e^(2x)]
ye^y·dy = e^x·dx/[(e^(2x)-1)/e^2x]
ye^y·dy = e^(3x)·dx/[e^(2x)-1]
La parte izquierda se integra fácilmente por partes
u = y  ==> du = dy
dv = e^y·dy ==> v =e^y
ye^y - $e^y dy = (y-1)e^y
Para la parte derecha hacemos el cambio
t=e^x
dt= e^x dx
$t^2 dt /(t^2-1) =
Hacemos la división larga
$(1 + 1/(t^2-1))dt = t + $(1/(t^2-1) dt
Factorizamos el denominador
$(dt/(t^2-1) = $dt/[(t+1)(t-1)]
Ese cociente puede expresarse como
a/(t+1) + b/(t-1) = a(t-1)+b(t+1) /(t^2-1)
Luego deben ser iguales los numeradores
at - a + bt + b = 1
De aquí salen dos ecuaciones
-a + b = 1
a + b = 0
Sumándolas
2b = 1
b=1/2
a=-1/2
Y la integral es
(1/2)$dt/(t+1) - (1/2)$dt/(t-1) = 
(1/2) ln(t+1) -(1/2)ln(t-1)
No olvidemos una t que se integró antes y la 
constante de siempre.  
Y para ahorrar escritura deshacemos el cambio
e^(3x)·dx/[e^(2x)-1] =
e^x + ln(e^x+1)/2 + ln(e^x-1)/2 + C
Y la solución es:
(y-1)e^y = e^x + ln(e^x+1)/2 + ln(e^x-1)/2 + C
Y yo no creo que se pueda despejar o simplificar mucho.
------------------------
x^2·dy/dx = y-xy con y(-1)=1
x^2·dy = y(1-x)dx
dy/y =(1-x)dx/x^2 = (1/x^2 - 1/x)dx
ln(y) = -(1/x) - ln(x) + C
si ponemos 1/x = ln(e^(1/x) y c = ln(k)
ln(y) = ln(k/[x·e^(1/x)]
y = k/[x·e^(1/x)]
Y ahora calcularemos k sustituyendo x=-1 e y = 1
1 = K/[(-1)e^(-1)]
K = -e^(-1) = -1/e
Y la solución al problema de valor inicial es
y = -1/[e·x·e^(1/x)] = -1/[x·e^(1+1/x)]

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Comprueba si quieres la solución, ya tengo la cabeza saturada y tengo que ir a otro sitio ahora mismo.

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