Distribuciones de probabilidad multivariantes.

5.8)

a) Los limites de integración son muy sencillos, ambos entre 0 y 1 sin depender entre sí

$$\begin{align}&1=\int_0^1 \int_0^1 ky_1y_2dy_2dy_1 =\\ &\\ &\\ &k\int_0^1\left[  y_1 \frac{y_2^2}{2}\right]_0^1dy_1=\frac k2\int_0^1y_1dy_1=\\ &\\ &\\ &\frac k2\left[ \frac{y_1^2}{2} \right]_0^1= \frac k2· \frac 12 = \frac k4\\ &\\ &\\ &Luego\\ &\\ &1= \frac k4 \implies k = 4\end{align}$$

b) La función de distribución F(y1, y2) = P(Y1<=y1; Y2<=y2) es una integral doble de la función de densidad con limite inferior -infinito, pero como hasta le cero la probabilidad es nula los límites inferiores son cero.

$$\begin{align}&F(y_1,y_2)= \int_0^{y_1}\int_0^{y_2}4y_1y_2 dy_2dy_1=\\ &\\ &\\ &\int_0^{y_1}[2y_1y_2^2]_0^{y_2}dy_1 = \int_0^{y_1}2y_1y_2^2 dy_1=\\ &\\ &\\ &[y_1^2y_2^2]_0^{y_1} = y_1^2y_2^2\end{align}$$

c)

De acuerdo con la fusión de distribución que acabamos de hallar es

P(Y1<=1/2; Y2<=3/4)= (1/2)²·(3/4)² = (1/4)(9/16) = 9/64

Y eso es todo.