Espacio Vectorial Real
El mandato dice asi: [ x en R3 con 2x - y - 12z compruebe que es un espacio vectorial
y
z ]
Como siempre, gracias!
1 Respuesta
No apareció muy bien el enunciado. Imagino que quieres decir
{x en R3 | 2x-y-12z = 0}
Usaremos el teorema de caracterización de subespacios vectoriales Que dice que si U es un conjunto no vació de un espacio vectorial V que cumple
1) u + v € U para todo u,v € U
2) ku € U para todo k € K, u € U
entonces U es un subespacio vectorial de V
U = {x en R3 | 2x-y-12z = 0}
Es no vació porque el vector (0, 0, 0) € U
1)Sean u=(x1, y1, z1), v=(x2, y2, z2) € U, entonces
2x1 - y1 - 12z1 = 0
2x2 - y2 - 12z2 = 0
sumando ambas igualdades
2x1 - y1 - 12z1 + 2x2 - y2 - 12z2 = 0
Usando las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva llegamos a:
2(x1+x2) - (y1+y2) -12(z1+z2) = 0
lo cual quiere decir que u+v € U
2) Sea u=(x,y,z) € U y sea k € R
tenemos que
2x-y-12z = 0
si multiplicamos por k en los dos lados se mantiene la igualdad
k(2x-y-12z) =k·0
2kx - ky - 12kz = 0
Lo cual quiere decir que el vector ku € U
Luego se cumplen todas las condiciones y U es un subespacio de R3, luego es un espacio vectorial.
Y eso es todo.
