Subespacio de R3
Hola valeroasm! Como se resuelve el siguiente ejercicio, solo necesito que me expliques con uno de ellos, quisiera que fuera el inciso d) es que tengo dudas y la verdad se me hace difícil hallar la ecuación de un plano o las ecuaciones ( paramétricas, vectoriales...etc) de una recta en el espacio, como saber que se necesita para encontrarlas y como se sabe que la solución de un sistema homogéneo tiene que ser o un plano o una recta que pasa por el origen o el origen de coordenadas que es un punto, ¿ podría ser un plano o una recta pero que no pasen por el origen? Que son las ecuaciones paramétricas empezando por ahi.
mira el el ejercicio aquí
explicame por favor. De nuevo muchas gracias.
1 Respuesta
Empiezo por algo. Un subespacio de R3 tiene que tener el punto (0,0,0), luego la recta, plano o punto que sea un subespacio vectorial pasa por el origen.
La dimensión del subespacio será 3 menos el número de ecuaciones independientes.
Asi en el ejercicio a) no hay ninguna ecuación ya que la ecuación con todo ceros no se considera tal entonces la dimensión es 3-0 = 3 y el subespacio es todo R3
En el ejercicio b) se ve que solo hay una ecuación independiente ya que la segunda es la primera multiplicada por 3 y la tercera la primera multiplicada por -2, luego el subespacio tiene dimensión 3-1=2 y es un plano. Y la ecuación es una cualquiera de las tres que hay.
El c) no se ve tan claro, habrá que tomar la matriz de coeficientes y operar para obtener filias con todo ceros si es posible.
1 -2 7 -4 8 5 2 -4 3 Sumaremos a la segunda la primera por 4 y a la tercera la primera por -2 1 -2 7 0 0 33 0 0 -11 Y la segunda dividida por 3 se suma a la tercera 1 -2 7 0 0 33 0 0 0 Ya no se pueden hacer más filas con todo ceros, lo único si acaso dividir la 2 entre 33. 1 -2 7 0 0 1 0 0 0
Quedan dos ecuaciones independientes y la dimensión será 3-2=1 que es una recta.
La ecuación paramétrica de una recta es un punto de ella más un parámetro por el vector director.
En todos estos subespacios tenemos en punto (0,0,0) que pertenece a ellos, luego no hay que pensar en buscar el punto. Y el vector director de la recta es el producto vectorial de los directores de los planos
| i j k | | 1 -2 7 | = -2i -j +0k | 0 0 1 |
Luego el vector director es (-2, 1, 0)
Y la ecuación paramétrica de la recta sería
(x, y, z) = (0,0,0) + t(-2,1,0)
(x, y, z) = (-2t, t, 0)
En el d) creo que saldrá lo que falta, un punto. Vamos a escribir la matriz y esta vez lo haremos con el determinante
| 1 4 8 | | 2 5 6 | = | 3 1 -4 | -20 +72 +16 -120 +32 -6 = -26
Es distinto de cero, luego las tres ecuaciones son independientes y la dimensión es 3-3=0 y el subespacio es un punto que es el punto (0,0,0)
Y eso es todo.
no entiendo el ejercicio b) cuando dices que por ser la dimensión del subespacio 2 entonces es un plano que pasa po el origen ¿por que es un plano? porque la dimensión determina si es un plano o una recta? y en el literal c) porque es al ser el subespacio de dimensión 1 entonces es una recta que pasa por el origen? porque una recta?
El espacio de dimensión uno es el generado por un solo vector y gráficamente eso es una recta, ya que se trata de todos los puntos que tienen la dirección de ese vector.
El espacio de dimensión dos es generado por dos vectores y lo que generan dos vectores es un plano. Esto es algo que por fuerza has tenido que estudiar o lo tienes en el libro.
