Todo el secreto está en este producto notable
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2
pero si en vez de a y b pones sus raíces cuadradas tendremos
$$\begin{align}&(\sqrt a + \sqrt b)(\sqrt a - \sqrt b) = (\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2=a-b\\ &\\ &\text {traducido al problema que tenemos}\\ &\\ &x-x_0 = (\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x - \sqrt{x_0})\\ &\\ &\text {y con esto el límite sale inmediatamente}\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to x_0} \frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x - \sqrt{x_0}}{(\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x - \sqrt{x_0})}=\\ &\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt x + \sqrt{x_0}}=\frac {1}{\sqrt {x_0} + \sqrt{x_0}}= \frac{1}{2 \sqrt {x_0}}\end{align}$$
Y eso es todo.