1 Respuesta
Es 16·77! + 7! ¿Un múltiplo de 79?
Es parecido a los ya hechos unicamente se añade un producto y una suma que no añaden mayor complicación
Como 79 es primo se cumple por el teorema de Wilson
78! ~: -1 (mod 79)
78·77! ~: -1 (mod 79)
Como 78 ~: -1 (mod 79)
(-1)77! ~: -1 (mod 79)
Multiplicando por -1
77! ~: 1 (mod 79)
Y ahora calcularemos la congruencia de 7! (mod 79!)
No creo que haya ningún teorema para calcularla, habrá que hacer la operación
7! = 5040
restamos 79 tantas veces como sea posible
5040 / 79 = 63.79...
5040 - 63·79 = 5040 - 4977 = 63
Luego
7! ~: 63 (mod 79)
Y aplicamos las propiedades de las congruencias
a ~: b (mod m)
c ~: d (mod m)
Se verifican
a+c ~: b+d (mod m)
ac ~: bd (mod m)
como tenemos
77! ~: 1 (mod 79)
16 ~: 16 (mod 79)
se verifica
16·77! ~: 16 (mod 79)
y como tenemos
7! ~: 63 (mod 79)
se verifica
16·77! + 7! ~: 16+63 (mod 79)
16·77! + 7! ~: 79 (mod 79)
16·77! + 7! ~: 0 (mod 79)
Luego es cierto, es múltiplo de 79.
Y eso es todo.
