Logaritmo con complejos
¿Como se separaría la parte real e imaginaria de la siguiente expresión?
Me gustaría saber los pasos a seguir no unicamente la solución. Gracias
$$m/2 \pi *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)$$
1 respuesta
Las barras de división inclinadas no dan tanta información como las horizontales. Dime cual de las dos expresiones es:
$$\begin{align}&1) \frac m2 \pi *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)\\ &\\ &2) \frac{m}{2 \pi} *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)\\ &\\ &3) \frac {m} {2 \pi *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)}\end{align}$$Aquí te escribo como lo he escrito para que puedas escribir barras de dividir horizontales
1) frac m2 \pi *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)
2) frac{m}{2 \pi} *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)
3) frac {m} {2 \pi *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)}
Aunque pueda parecer raro, la forma que habría que tomar, y de hecho es la que te tomará un ordenador o calculadora es la primera.
Entonces dime cual de las tres formas es la verdadera antes de continuar.
Me refería al segundo caso
$$\frac{m}{2 \pi} *ln(x^2+2xyi-y^2-a^2)$$Gracias.
Un saludo
Lo que pasa es que no sé cuánta teoría te habrán enseñado.
Todo parte de la función exponencial que se define así para los números complejos
Si z = a+bi
e^z = e^(a+bi) = e^a(cosb + i·senb)
Entonces dado un un número complejo z se define lnz como el número complejo w tal que
e^w = z
debemos conseguir un w tal que
e^w = x^2 + 2xyi - y^2 - a^2
sea w = c+di
e^c(cosd + i send) = x^2-y^2-a^2 + i(2xy)
igualando parte real e imaginaria
e^c(cosd) = x^2-y^2-a^2
e^c(send) = 2xy
si dividimos la segunda entre la primera tenemos
tgd = 2xy / (x^2-y^2-a^2)
d = arctg[2xy / (x^2-y^2-a^2)] + 2k·Pi
Si elevamos las dos al cuadrado y las sumamos queda
e^(2c) = [(x^2-y^2-a^2)^2+4x^2y^2]
e^c = sqrt[(x^2-y^2-a^2)^2+4x^2y^2]
c = ln(sqrt[(x^2-y^2-a^2)^2+4x^2y^2])
Luego la parte real será
$$\begin{align}&Real=\frac{m}{2\pi}ln\left(\sqrt{(x^2-y^2-a^2)^2+4x^2y^2}\right)\\ &\\ &imaginaria = \frac{m}{2\pi}arctg \left(\frac{2xy}{x^2-y^2-a^2}\right)\end{align}$$Y eso es todo, no se si será suficiente, si te pueden algo más dímelo. Y si ya está bien no olvides puntuar.
