Matemática 3 : integrales multiples

Luisa Reina!

Veo que también mandaste una pregunta al tablón, la aprovecho para contestar el ejercicio b.

El cilindro tiene sección circular y su eje es el eje X. El radio es 2 ya que su proyección en el eje YZ es una circunferencia y^2+z^2=4 donde ese 4 es el radio al cuadrado.

Luego la proyección del cilindro sobre el plano XY es una franja 2 por arriba y 2 por abajo del eje X, limitada por las rectas y=-2, y=2

El plano x=2y sobre el el eje XY es la recta x=2y, los cortes los límites de la franja son

(-4, -2) y (4,2).

Y si añadimos la recta x=0 van a quedar cuatro zonas en la franja, dos son ilimitadas y dos formarán un recinto cerrado con el cilindro, esas dos zonas forman una mariposa.

Pues el enunciado no está muy bien definido, no nos dicen si es por arriba o por abajo del plano z=0, aunque da lo mismo porque ambos sólidos serían simétricos. Y estas dos zonas dan sólidos simétricos, basta hallar el volumen de uno.

Resumiendo, integraremos la función z=sqrt(4-y^2) con límites [0,4] en x y [x/2, 2] en y. Y el volumen será el doble de eso

$$\begin{align}&V=2\int_0^4\int_{x/2}^2 \sqrt{4-y^2}dydx\\ &\\ &y=2sent \implies t=arcsen(y/2)\\ &y=2 \implies t= arcsen 1 = \pi/2\\ &y= x/2 \implies t= arcsen(x/4)\\ &dy=2costdt\\ &\\ &\\ &V=2\int_0^4\int_{arcsen(x/4)}^{\pi/2} \sqrt{4-4sen^2t}\;2cos t \;dtdx=\\ &\\ &8\int_0^4 \int_{arcsen(x/4)}^{\pi/2}\cos^2tdtdx =\\ &\\ &8\int_0^4 \int_{arcsen(x/4)}^{\pi/2}\left(\frac 12 + \frac{\cos 2t}{2}\right)dtdx =\\ &\\ &8\int_0^4\left[\frac t2+\frac{sen2t}{4}\right]_{arcsen(x/4)}^{\pi/2}dx =\\ &\\ &\\ &8\int_0^4\left( \frac{\pi}{4}+0 -\frac{arcsen(x/4)}{2}-\frac{sen(2arcsen(x/4))}{4} \right)dx\\ &\\ &\\ &\text{Sen(2a) = 2senacosa luego}\\ &sen(2arcsen(x/4))= 2 \frac x4·\cos(arcsen(x/4))=\\ &\\ &\frac x2·\sqrt{1-\left(\frac x4\right)^2}=\frac x8·\sqrt{16-x^2}\\ &\\ &V=8\int_0^4\left( \frac{\pi}{4}+0 -\frac{arcsen(x/4)}{2}-\frac{x \sqrt{16-x^2}}{32} \right)dx=\\ &\\ &\int_0^4\left( 2\pi -4arcsen(x/4)-\frac{x \sqrt{16-x^2}}{4} \right)dx=\\ &\\ &u=-4 arcsen(x/4) \implies \\ &du = \frac{-4dx}{4 \sqrt{1-\frac{x^2}{16}}}=\frac{-4dx}{\sqrt{16-x^2}}\\ &\\ &dv=dx \implies v=x\\ &\\ &\\ &\\ &\left[2\pi x+\frac 23 \frac{(16-x^2)^{3/2}}{2·4}\right]_0^4 -\\ &\\ &[4x·arcsen(x/4)]_0^4-\int_0^4 \frac{-4xdx}{\sqrt{16-x^2}}=\\ &\\ &8\pi+0-0-\frac 23.\frac{64}{8} -16·\frac{\pi}{2}+0-\left[  4 \sqrt{16-x^2}\right]_0^4=\\ &\\ &-\frac {16}{3}+16 = \frac{-16+48}{3}= \frac {32}{3}\\ &\end{align}$$

No se pueden poner muchos comentarios dentro del editor de fórmulas, cada carácter de más que añades hace que se vuelva insoportablemente lento.