Necesito ayuda con un ejercicio de cálculo integral

Vamos a verla:

$$\int \frac{1-xcosx}{x-\cos^2\theta+sen^2\theta}dx$$

Si la integral es esa es inintegrable como composición de funciones elementales. Es decir que tomes las funciones conocidas que tomes, las sumes, restes, multipliques, dividas y compongas como te de la gana, nunca podrás conseguir que su derivada dé esa función.

Entonces mira a ver si el enunciado y lo que he interpretado está bien. Si la han puesto a propósito es una faena, te puedes romper la cabeza y no la sacarías nunca. ¿Habéis dado algo de teoría sobre las funciones no integrables?

Y eso es todo.

En el denominador la expresión correcta que involucra a x es (x - Cos@)^2, todo al cuadrado, no solo al coseno.

Vaya fallo, perdona, lo vi mal porque me lie con los senos y cosenos de las arrobas. Podrían haber puesto dos números normales para no despistar.

Ahora tengo quien dejar el ordenador, cuando pueda la respondo.

$$\begin{align}&\int \frac{1-x·\cos x}{(x-\cos \theta)^2+sen^2 \theta}dx =\\ &\\ &\\ &\int \frac{1-x·\cos x}{x^2 -2xcos \theta +\cos^2 \theta +sen^2 \theta}dx =\\ &\\ &\\ &\int \frac{1-x·\cos x}{x^2 -2xcos \theta +1}dx =\end{align}$$

Espero que ahora haya entendido bien la expresión.

Pues la situación es la misma de antes, no tiene primitiva expresable como combinación de funciones elementales.

¿Son ejercicios de colegio o son ya universitarios?

Vaya problema eh

Yo había supuesto que es dx, porque el ejercicio no presenta diferencial, y que pasa si se trata de d@.

Estuve transformando el ejercicio y obtengo una respuesta aceptable si

I = $ [(1 - x*Cos@)d@]/[(x - Cos@)^2 + (Sen@)^2] , ahora lo que involucre a x es ctte.

Y obtengo

I = ArcTg[(1 - xcos@)/Sen@] + C

Pero aun asi quiero saber tu opinión con la expresión inicial, si la diferencial es d@, podría ser integrable con funciones elementales?

Siendo así es integrable porque eso me dice el programa Máxima, pero es bastante complicada de hacer creo yo.

Si derivo tu respuesta me da esto:

Vaya, no me funciona el editor de ecuaciones

X / (2sen^2(@) + x^2cos^2(@) - 2xsen@cos@)

Que es bastante distinto de la expresión inicial como para diferir en una sola constante.

Pues sin el editor de ecuaciones quedará muy fea la resolución de la integral, ya probaré más tarde si se arregla.

De todas formas no veo nada de como pueda hacerse, ¿podrías decirme como lo hiciste tú?

No se si entendiste lo que dije, paso a explicar:

Te di esta expresión

I = $ [(1 - x*Cosx)dx]/[(x - Cos@)^2 + (Sen@)^2]

Cambia el dx por d@, quiero saber si esta integral es integrable o no, si lo es como se solucionaría

I = $ [(1 - x*Cosx)d@]/[(x - Cos@)^2 + (Sen@)^2]

La integral con respuesta arcotangente, es solo una modificación que hice para que sea fácil de integrar. Yo no tengo respuesta de la INTEGRAL INICIAL sea con dx o d@.

Y si te interesa saber cómo solucioné la integral modificada, hice lo siguiente:

Dividí el numerador y denominador por (Sen@)^2 , luego en el denominador obtengo

[(x - Cos@)/Sen@]^2 + 1. Finalmente hago u = (x - Cos@)/Sen@, obteniendo du = numerador; y tendría la integral de du/(1 + u^2), cuya respuesta es arcTg(u) + C

I = $ [(1 - x*Cos@)d@]/[(x - Cos@)^2 + (Sen@)^2]

I = ArcTg[(x - Cos@)/Sen@] + C (esta es la respuesta de la integral modificada,lo expresé mal anteriormente)

Sin mas que decir espero tu respuesta :)