Problema numero 8 - The theory of numbers

Demostrar que (3^999 - 1)/2 :~ 13 mod (26)

Primero multiplicamos por 2 en ambos lados, la congruencia se mantiene

3^999 - 1 :~ 26 :~ 0 (mod 26)

Ahora sumamos 1 que se mantiene la congruencia

3^999 :~ 1 (mod 26)

Como vimos en el ejercicio anterior es muy bueno encontrar una potencia de 3 congruente con 1 modulo 26

Fijate que

3^3 = 27 :~ -1 (mod 26)

entonces

3^6 = 3^3 · 3^3 :~ (-1)(-1) :~ 1 (mod 26)

Luego

(3^6)^n = 3^(6n) :~ 1 (mod 26)

La potencia es 999

999 / 6 = 166.5

999 - 166 · 6 = 999 - 996 = 3

Luego

3^999 = 3^(6·166) · 3^3 :~ 1 · 27 :~ -1 (mod 26)

PUES NO ES CIERTO ya que 3^999 es congruente con -1 módulo 26 y la hipótesis a demostrar deducía que 3^999 debía ser congruente con 1 módulo 26. Ambas cosas son incompatibles y por lo tanto es absurdo y la hipótesis es falsa.

Si hubieran puesto

(3^999 + 1)/2 :~ 13 mod (26)

Sería verdad.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas comprendido. Ahora tengo que dejar el ordenador unas horas.