Demostrar desigualdad de valores absolutos
$$Sea x?R, demuestre que si |x+y|>|x|+|y| entonces y no es un número real.$$
Es conocida la desigualdad triangular de los números reales que dice:
Si x, y € R entonces se cumple |x+y| <= |x| + |y|
La demostración es sencilla. Por propiedades del valor absoluto tenemos
-|x| <= x <= |x|
-|y| <= y <= |y|
sumando ambas tenemos
-|x| - |y| <= x+y <= |x| + |y|
-(|x| + |y|) <= x+y <= |x| + |y|
y por propiedades de los valores absolutos eso significa
|x+y| <= |x| + |y|
Los dos números que nos dan no verifican la desigualdad triangular luego no pueden ser los dos reales a la vez, supuesto que x es real entonces y no es real.
Y eso es todo.
Hola,
Sólo me perdí un poco al fina en:
y por propiedades de los valores absolutos eso significa
|x+y| <= |x| + |y|
Por qué x, y no cumplen con la desigualdad?
Tienes
-(|x| + |y|) <= x+y <= |x| + |y|
Llama
a = |x| + |y| se cumple a>=0 por ser suma de dos valores absolutos
b = x + y
entonces queda
-a <= b <= a
Si b es positivo debe ser b<=a luego |b|<=a
Si b es negativo debe ser
-a <=b
multiplicando por -1 cambia en sentido
a>= -b = |b|
|b| <=a
Luego en cualquiera de los casos
|b| <= a
cambiando a y b por sus valores
|x+y| <= |x| + |y|
Puede ser algo pesado de demostrar pero es algo que se ve fácilmente que si un número esta entre -algo y algo positivo entonces el módulo de ese número es menor que ese algo.
Y eso es todo.
