Anónimo
Como puedo demostrar que (3a^2)-1 nunca es un cuadrado perfecto usando el algoritmo de división?
Tengo dudas de como hacer eso y tampoco se como demostrar que el cubo de cualquier entero es de la forma 7k o 7k-1 ....gracias anticipadas
1 respuesta
Pues de veras no se que de que libro es ya que eso fue una asignación que el maestro de la clase nos mando...y no se puede demostrar de ninguna otra manera? es que de veras no lo entiendo, gracias nuevamente
Si claro, tendrá que haber una demostración. Lo que pasa es que como no me salía probé con un programa de ordenador hasta el límite que me permitió este para asegurarme que el enunciado se cumplía, porque si fallaba en algún número pequeño ya estaría demostrado que era falso.
Dime entonces que estás estudiando, asignatura, curso, años que tienes. Es para hacerme la idea de qué medios debo usar. No es lo mismo si estudias bachillerato con 15 años, que si es Teoría de Números en la Universidad con 21 años. A lo mejor yo estoy pensando en algo complicado y en realidad es simple, o realmente es complicado como pienso.
¿Y dices que se demuestra usando el algoritmo de la división? Pero claro, eso simplemente nos dice que dados a y b existen unos c y r tales que
a=cb+r con 0<=r<b
Todas las consecuencias que se puedan extraer dependen de la dificultad del curso o de lo que el autor del libro haya considerado que tenía que escribir.
En resumen, facilítame esas pistas para orientarme el camino.
Pues entiendo que no debe ser de una dificultad muy alta ya que tengo 17 años y curso el duodécimo grado en una escuela especializada en matemáticas. Lo único que el maestro nos ha enseñado es Inducción Matemática y el Algoritmo de división. Luego nos dio 4 problemas y uno de ellos era ese. Ya nos enseno que los números pares se demuestran de la forma 2q y los impares de la forma 2q+1. Y que los cuadrados de ellos se pueden demostrar de la forma 4k o 4k+1. Eso es básicamente lo que sabemos hasta el momento. Espero que esto aclare un poco, gracias
Vale, las pistas han sido buenísimas, yo pensaba que eras un estudiante universitario y por eso pensaba en demostraciones más complejas.
Lo que dices de los cuadrados es verdad.
Dado un numero n lo podemos poner como
n=4i+j con j =0,1,2,3
n^2=(4i+j)^2 = 16i^2 + 8ij + j^2
Y esto dividido por 4 es tiene una parte entera que es
4i^2 + 2j
y un resto que es
j^2 o as lo sumo j^2-4 o j^2-8
Luego el resto puede ser
0^2 = 1
1^2 = 1
2^2 = 4 ==> el cociente se incremente en 1 y el resto es 0
3^2 = 9 ==> el cociente se incrementa en 2 y el resto es 1
En resumen: el resto de dividir por 4 un cuadrado es 0 o 1
Que se puede expresar también diciendo que tiene la forma 4k o 4k+1
Ahora vamos a tomar un número de la forma
3a^2+1
Y lo haremos separando los casos en que "a" sea par o impar
Si a es par:
3(2i)^2 - 1 = 12·i^2 -1 = 12·i^2 - 4 + 3
Y dividido por 4 es
3i^2-1
Y el esto es 3
Luego no puede ser un cuadrado
Si a es impar:
3(2i+1)^2-1 =3(4i^2 + 4i + 1) -1 = 12i^2 +12i + 3 -1 = 12i^2+12i + 2
Y esto dividido por 4 tiene cociente
3i^2 + 3i
Y el resto es 2
Luego no puede ser un cuadrado
Luego en ningún caso puede ser un cuadrado perfecto.
Mándame el otro ejercicio en otra pregunta y lo intentaré contestar. NO olvides puntuar.