Representación Matricial ayudame experto :)

He estado buena cantidad de tiempo intentando entenderlo. Creía que el operador era

F(p(t)) = p'(t)p(t)

Y no entendía nada.

Vale, creo que quieres decir que el operador es

F(p(t)) = p'(t)

Debías haber puesto algún signo de separación o salto de línea en el enunciado.

El operador derivada sabemos que es lineal ya que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas y la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función

La base canónica de P2 es {1, t, t^2}

La imagen de la base por el operador derivada es

F(1) = 0

F(t) = 1

F(t^2) = 2t

y la base canónica de P(1) es {1,t}

Luego las coordenadas de la imagen de la base canónica de P2 en función de la base canónica de P1 es

F(1) = (0,0)

F(t) = (1,0)

F(t^2) = (0,2)

Y la matriz del operador respecto de esas bases son las coordenadas puestas por columnas

$$\begin{pmatrix}
0&1&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}$$

-----------------------------

Y para la matriz de las otras bases primero calculamos la imagen de la base

f1 = { t+1; t^2+t; t^2+2t+1}

F(t+1) = 1

F(t^2+t) = 2t + 1

F(t^2+2t+1) = 2t + 2

Y ahora hay que hallar las coordenadas de esas imágenes en la segunda base f2 = {t+1; t}

a(t+1) + bt = 1

(a+b)t + a = 1

esta igualdad polinomial son dos ecuaciones

a+b=0

a=1

luego

b=-1

y las coordenadas de 1 son (1,-1)

Ahora para la imagen del segundo elemento de la base de P2

(a+b)t + a = 2t+1

a+b=2

a=1

luego

b=1

y las coordenadas de 2t+1 son (1,1)

y finalmente para la imagen del tercer elemento de la base

(a+b)t + a = 2t+2

a+b=2

a=2

luego b=0

y las coordenadas son (2,0)

Y ya solo queda poner estas coordenadas por columnas para obtener la matriz

$$\begin{pmatrix}
1&1&2\\
-1&1&0
\end{pmatrix}$$

Y eso es todo.